טבעו המתימטי של הטבע

הקדמה:

בעקבות הפרקטלים של ד”ר בנואה מנדלברוט

ד״ר בנואה מנדלברוט (יליד פולין), הנו מתמטיקאי בעל-שם המכהן כיועץ מדעי במרכז המחקר של יבמ ע״ש תומס ג׳ ואטסון, ביורקטאון הייטס שבמדינת ניו יורק. עיקר פרסומו של ד״ר מנדלברוט בא לו בזכות רעיונותיו החדשניים בשני תחומים:

• חוקים יציבים שמעריכיהם תמוהים

• פראקטלים

ד״ר מנדלברוט נמנה עם קבוצה נבחרת של מדענים ביבמ, שקיבלו תואר של ״עמית יבמ״ על הישגיהם המצויינים במחקר המדעי. ״עמית יבמ״ רשאי לעסוק בכל תחום פעולה הקרוב לליבו במשך חמש שנים תמימות, בתנאי שכר מלאים ותוך שימוש חופשי במתקניה ובמעבדותיה של החברה, בכל מקום שהיא פועלת בו.

ספרו של ד״ר בנואה מנדלברוט ,Fractals, Form Chance and Dimension (הוצאת פרימן ושות’, סן פרנציסקו), הפך כבר ספר יסוד וזכה להדים רבים ולהערכה עמוקה של מדענים מקשת רחבה של דיסציפלינות מדעיות. לקראת פרסום המאמר ב״מחשבות״, חיבר ד״ר מנדלברוט מבוא מיוחד.

לכאורה אין דבר אקראי יותר מאשר מירקם מכתשי המטאוריטים על-פני הירח, או מתנועת התזזית של גרגירי אבקה על משטח מים, או מהתפלגות הגלאכסיות ביקום, או מפיתולי הנחל העושה דרכו מרכסי ההרים לשפלה. ומהיותם אקראיים ממילא אין לבקש בהם שיטה או סדר שאפשר לנסחם בלשון מתימטית.

כך לכאורה. אך ד״ר מנדלברוט מראה כי ביסוד כל התופעות והצורות הללו, הלא סדירות והאקראיות כביכול, אותן הוא מכנה פראקטלים, פועלת חוקיות מתימטית מלאה, המציגה מושג חדש של מימד.

מאז ומתמיד ידענו שקו הוא בעל מימד אחד, לשטח שני מימדים ולגוף שלושה מימדים. הווי אומר — המימדים לעולם מיוצגים ע״י מספרים שלמים.

והנה בא ד״ר מנדלברוט ומורה לנו כי המימדים השוררים בטבע המיקרוסקופי והמאקרוסקופי מיוצגים ברובם ע״י שברים ולא ע״י מספרים שלמים; כי קו החוף של מדינה, ככל שמסתכלים עליו בהגדלה רבה יותר, הוא לא רק אינסופי כי אם גם יציר מתימטי בעל מימדים מוזרים של משהו יותר מקו ומשהו פחות משטח. והמפתיע ביותר — פיזור המכתשים על-פני הירח, כמו התפלגות החורים בגבינה שוויצרית, כמו המסלול הפתלתל של נהר ושל קו חוף — אינם אקראיים, אלא חוזרים בדייקנות על עצמם בכל רמת הגדלה, בין אם תסתכל בהם דרך טלסקופ או מיקרוסקופ.

מה שהיה לפנים יצירים מתימטיים פראים ומופשטים, שחוללו לכאורה את הרמוניית היחסים השלמים השוררת בטבע, התגלה כחוקיות מתימטית ברמה עמוקה יותר, המבטאה את העושר הבלתי נדלה של הצורות והתופעות בטבע.

וכך ניתן אישור נוסף לאמונתו העמוקה של גליליאו, כי ספר היקום כתוב בשפת המתימטיקה.39

 שלושים השנים ומאה השנים האחרונות במתימטיקה
 תקופת ניקולאס בורבאקי
 מאת ד״ר בנואה ב. מנדלברוט

אפשר אולי להניע פיסיקאי או ביולוג להצביע על כמה בעיות-מפתח בתחום עיסוקו ולבקשו לחזות את ההתפתחות הצפויה בתחום זה בטווח הקצר; אך המתימטיקן הזהיר יסרב להתפתות לכך. המתימטיקה נעשתה רבת-פנים במידה מפתיעה, ורבות מדי הדוגמאות לבעיות ולענפים שלמים, שנעלמו מן האופק משפג הענין בהם, מכדי שאפשר יהיה לחזות את העתיד בביטחה כלשהי. מצד שני (ולמרבה הפליאה), המתימטיקה היא עיסוק ״פוליטי״ וסובייקטיבי ביותר; בעוד שתקפות עבודתו של המתימטיקן ניתנת לשיפוט אובייקטיבי, ערכה נקבע רק על-ידי השבחים שהיא זוכה לה מפי עמיתיו. עקב כך שרוי העיסוק המתימטי בכל זמן נתון ב״מגמה״ מסויימת, שרבים מוכנים לנסות לתארה ולפעמים אף עשויים להגיע לכלל הסכמה לגביה. מגמה זאת משתנה מעת לעת. לפני שלושים שנה (הדבר זכור לי היטב, שכן אז פניתי לקריירה מדעית) חשו כולם כי המגמה המתימטית של העת הקרובה תיקבע ע״י תנועת בורבאקי. ניקולאס בורבאקי היה דמות בהיסטוריה הצבאית הצרפתית, ושמו נבחר מתוך לצון כפסבדונים משותף לקבוצה קטנה של צעירים פעילים, מבחירי המתימטיקנים הצרפתיים, שהחלו נפגשים ביניהם בשנות העשרים. חלקם יצרו במשותף אסכולה ראדיקלית ופרסמו בסוף שנות השלושים כמה מאמרים וספרים תחת השם היומרני ״יסודות המתימטיקה״ (פריס, הוצאת הרמן. תורגם לאנגלית בידי אדיסון וסלי). כעבור עשר שנים זכו הישגיהם של הוגים אלה להערכה רבה בצרפת ובכמה מקומות בארה״ב. תנועתם הלכה והתרחבה, ואיתה גם השפעתם על המגמה המתימטית. הם הביעו את השקפותיהם ונטיותיהם לגבי שיטות שונות של אנאליזה, תוך העדפת הפשוטות יותר (אם-כי ברבות הימים הפכו גם אלו למסובכות). התכונות הבולטות של תנועת בורבאקי היו: דבקות בסיסמה ״אמנות לשם אמנות״ וטישטוש מכוון של המסורות האינטואיטיביים או הפיסיקליים של הרעיונות המתימטיים. תכונות אלו של תנועת בורבאקי לא היו מיוחדות לצרפתים בלבד. בסביבה התרבותית השונה של קמברידג׳, אנגליה, היה ספרו של הרולד הארדי, ״אפולוגיה של מתימטיקן״ (הוצאת אוניברסיטת קמברידג׳), מאניפסט של ההשקפה ״אמנות לשם אמנות״ ותביעה להפרדת המתימטיקה הטהורה מהלא-טהורה.

ספרו של הארדי הופיע ב-1940, אך השפעתו החלה ב-1948, עם צאת ההוצאה השניה, כאשר ה״היסודות״ של בורבאקי החלו להתפרסם ברבים. לא היה ספק אז שהרוח נושבת בכיוון בורבאקי-הארדי, ושהיא תמשיך לנשוב בכיוון זה זמן רב. ער מהרה נעשו חברי תנועה זאת השליטים הבלתי מעורערים של המחשבה המתימטית בכל הארצות בהן עסקו במדע זה, למרות שהוסיפו לנקוט לשון מהפכנים. דומה היה כי הבסיס המתימטי-פיסיקלי של המחקר המדעי נבקע לשני חלקים נפרדים. אף-על-פי-כן, כצפוי, איבדה התנועה את תאוצתה. מה שקרה הוא, שהטוב ביותר ב״אמנות לשם אמנות״ אינו נבדל — אלא למראית עין — מהטוב ביותר ב״אמנות למען הטבע״, המנסה לנחש ולחקות את דרכיו.

עקב כך נוצרו שני מצבורים: מצבור של כלים מתימטיים לשימוש בפיסיקה, ומצבור של בעיות פיסיקליות, המסוגלות ומוכנות לעשות שימוש במתימטיקה מתוחכמת ואף לסייע בפיתוחה.

כיום, ב-1979, סבורים רבים מאלה שנטלו חלק בתנועת בורבאקי כי היא שבקה חיים. אני חושב (וכמובן מקווה) שבעתיד הקרוב יגבלו תחומי המתימטיקה החדשים באלה של הפיסיקה, בדיוק כפי שהיו הדברים לפני תקופת בורבאקי. שכן הקרע הגלוי בתוך מדעי הטבע החל זמן רב לפני שנות הארבעים. מקובל לייחס את הופעתו הראשונה לשנות השבעים של המאה הקודמת; למעשה — מבחינת רוח הדברים — היה הקרע מושלם כבר בשנות העשרים של מאה זו, כאשר (ולא במקרה) מייסדי בורבאקי קיבלו את הכשרתם כמתימטיקנים.

כדי להבין את האסכולות השונות, חשוב לעיין לא רק בתקופת פריחתן ועוצמתן, אלא גם בראשית דרכן ובשנות מאבקן בדעת הרוב. מבחינה זו, ההיסטוריה של מאת השנים האחרונות מעניינת יותר מזו של שלושים השנים האחרונות. אי-לכך הרשו לי לנהוג כמנהג המתימטיקנים, ובמקום להשיב בהרחבה על מה שנשאלתי: מה קרה ב-30 השנים האחרונות, ברצוני לסטות ולדון ביתר פירוט בשאלה אחרת, הקשורה לראשונה אך שונה ממנה, ושלדעתי יש בה ענין שריר ורחב יותר: מה קרה למתימטיקה במאה השנים האחרונות.

מה שקרה במתימטיקה לפני מאה שנה הוא, שהיא סטתה לפתע וללא תקדים להפשטות מעמיקות. למשל, כפי שהתברר מתוך דוגמאות שהופיעו אז, הרעיון שקו רציף חייב להיות גם גזיר (חלק), פשוט אינו נכון. זמן קצר לאחר מכן הופיעו תבניות גאומטריות, הבנויות בצעדים מוכרים ותמימים, שבצרופן יצרו מבנים זרים ומוזרים, ללא תקדים בהיסטוריה של המחשבה, כגון קבוצות קנטור, פיאנו וקווי קוך. יצירים אלה זכו למגוון של כינויים בלתי מוצלחים. הכינויים ״קבוצות חריגות״ ו״קבוצות מוזרות״ יאו להם, אך כינויים אחרים, כגון ״קבוצות פתולוגיות״ או ״מפלצות״ לא היו נאותים, מאחר שיצירים מעוותים או מפלצתיים יכולים להיות בני-חיות, ואילו התבניות הנדונות נחשבו במידה רבה חסרות חיים, ונוצלו רק כדוגמאות להפרכת דעות מקובלות.

אך מה שקורה עתה במדעים שונים הוא שדווקא מפלצות אלו נחשבות כלים חשובים לתאור היבטים אחדים של הטבע, שהמדענים הזניחו ער כה. התפתחות זו היא שהניעה אותי לטבוע בעבורם את המונח ״פראקטלים״. כיצד קרה הדבר? איך להאמין שקנטור, פיאנו ודומיהם, למרות התנגדותם ולגלוגם של המתמטיקנים בני זמנם, וגם של הפיסיקאים המעטים שהתעניינו בדבר, אכן התכוונו ליצור כלים שישמשו את הפיסיקאים כעבור מאה שנה? ביתר פרטות, כאשר בנו קנטור ודומיו קבוצות המורכבות מסולמות אינסופיים, שבהם כל שלב מוסיף עוד פרטים לרקע שהותווה ע״י השלבים הקודמים, לא יכלו לצפות מראש כי הליך זה יהיה כה שימושי בכמה מתחומי הפיסיקה בתאור התופעה הנקראת ״סלימה״ (Scaling). תופעה מפליאה זו של חיזוי והכנת כלים מראש הרבתה להתמיה אותי, אך עתה נראה לי שאני מבחין כאן במעין תהליך היסטורי. עדויות שונות לכך אנו מוצאים בספרי ההיסטוריה של המדע ושל ההגות: למשל, בכמה שורות שחיבר לואיס פריי ריצ’ארדסון (1881 — 1953). ריצ’ארדסון היה אישיות יוצאת-דופן מאין כמוה, ורק עתה זוכה הוא בפרסום הראוי לו. במיוחד עבודתו בנושא הערבלות (Turbulence), שנתפרסמה בשנות העשרים ונחשבת עתה לאחד המקורות של תורת הסלימה הפיסיקלית. בשנת 1922 הוא פיתח את רעיון ה״אשד הערבלי״ (Turbulent Cascade), וכדי להבהיר את כוונתו ניסח ארבע או חמש שורות שזכו לפירסום אנונימי:

למערבולות גדולות יש מערבולות קטנות יותר
הניזונות ממהירותן;
ולהן יש קטנות עוד יותר,
וכו׳ עד צמיגותן
(מבחינה מולקולארית).

טענתי הראשונה היא, שקשה להאמין כי שורות אלו אינן פארודיה על שירו הסאטירי של יונתן סוויפט, שנכתב ב-1733 (״על השירה״, רפסודיה, שורות 337 עד 340):

ולפרעוש, קובעים המדענים,
יש פרעושים קטנים יותר שניזונים ממנו,
ואלה יש קטנים יותר הנושכים אותם,
וכך חוזר חלילה.

לאמיתו של דבר אין זה משנה אם ריצ׳ארדסון שאב במישרין מסוויפט או לאו. מכל-מקום הוא הציב עצמו במסגרתה של מסורת פילוסופית ישנה וידועה, שתחילתה באפלטון ובאריסטו, ואשר התחדשה בימי-הביניים, בכתביהם של הרמב״ם והפילוסוף הערבי איבן רושד (Averroes). מסורת זאת הגיעה לשיא פריחתה בימי לייבניץ ותלמידיו במאה השמונה-עשרה, לרבות אנשי ספרות, שאחד הבולטים בהם היה סוויפט עצמו! כבר בכתביו המקוריים של אריסטו על תופעות הטבע, נזכרת ״שושלת ההוויה הגדולה״ בקשר לבעיית הסופי לעומת האינסופי, הבדיד לעומת הרציף. לדוגמא, מאחד מעקרונותיה, שנקרא ״עקרון הרציפות״, נובע כי אם יתכן בין שני מינים בטבע מין ביניים, חייב הוא להופיע — וכן הלאה עד אינסוף. אנו מוצאים כאן את מקורה של האמונה במציאות ״החוליה החסרה״ מסוגים שונים, בכלל זה החימרה במובנה המקורי במיתולוגיה היוונית: חיה שחציה אריה וחציה תיש. כידוע, האמונה בחימרה הביולוגית חדלה מזמן להיות מקובלת, אך השפעתם של רעיונות כאלה אינה תלויה בהצלחתם או בכשלונם בתחומי מדע שונים! במתימטיקה מופיע יישום ידוע של רעיון זה באינטרפולציה בין מספרים שלמים לצורך הגדרת שברים, ובהגדרת מספרים אי-רציונליים כגבולות של שברים.

ומה בדבר סידרת המימדים? מאז תקופת הפיתגוריאנים, המימד היה קשור במספרים שלמים; אך לאחרונה החלו כמה אנשים — מעשיים מאד — לערער על כך, והחלו לחפש צורות ביניים שיהיו בהן, למשל, מתכונות הקו והמשטח גם יחד. בין האנשים הללו ניתן למצוא חוקרי ערבלים ואסטרופיסיקאים, המנסים לתאר את תכונות הריקמה של צורות שמימיות מסוימות, הנראות כפסי ערפל למרות שהן מורכבות מנקודות בדידות. האם לא יהיה זה סביר לומר לחוקרים מפוכחים אלה, כי למעשה הולכים הם בדרכיהם הסלולות יפה של מחפשי החימרה? ואם נעבור עתה מאלה המתיימרים לחקות את הטבע אל אלה המתיימרים לעסוק ב״אמנות לשם אמנות״ — האם מקרה בלבד הוא שצורות הביניים הראשונות תוארו לראשונה בדייקנות בידי גיאורג קנטור מיודענו? עובדה זו התבררה ב-1919, כאשר פליכס האוזדורף הגדיר מושג חדש, לא קלאסי, של מימד, והראה כי מימדי המפלצות של קנטור וקוך הם בדרך-כלל מספרי ביניים, בין שני מספרים שלמים. אכן מלצות אלו אינן אלא החימרה.

סיכומו של דבר — האם אכן אלה הם שורשי התופעה, והאם יש בהם ממש? לדעתי יש שורשים משותפים לקנטור ולריצ’רדסון, ויש בהם חשיבות.40

מושג מתימטי חדש — פראקטלים

פרצופה המחוטט של הלבנה שנראה בעין בלתי מזויינת כפני אנוש, זרוע למעשה מכתשים ורכסים עגולים בגדלים שונים, המפוזרים עליו ללא כל סדר. מכתשים אלה נוצרו אקראית לחלוטין מפגיעות מטאוריטים במרוצת מיליארדי שנים.

כל פגיעה של מטאוריט גדול בפני הירח יוצרת מכתש רחב-מידות, המבטל אגב-כך מכתשים קטנים שנמצאו באזור הפגיעה, ולהיפך: כל פגיעה של מטאוריט קטן תתבטא ביצירת מכתש זעיר על פניו של מכתש גדול. ערב-רב זה של מכתשים הנוצרים ונעלמים באורח אקראי עם פגיעת המטאוריטים בקרקע, דוחה על הסף את המחשבה שמא כפוף מירקמם לחוקיות כלשהי, הניתנת לאיפיון מתימטי. וכי יתכן שמצויה חוקיות מסויימת במקבץ עצום זה של מכתשים מגובבים, המהווים את פני הירח? והנה, למרבה הפליאה, אכן כך הוא! בצבעו הצהבהב-חיוור וב״חורים״ הפזורים עליו, מזכיר הירח לרבים גבינה שוויצרית. ואמנם, הדמיון אינו רק חיצוני. גם החורים בגבינה הם תוצאה אקראית של תהליך הייצור ואין למצוא בהם לכאורה שום סדר, לא בגודלם ולא במיקומם על חריץ הגבינה. אך המשותף לחורי הירח ולגבינה השוויצרית הוא לא רק בכך שאלה כמו אלה הינם תוצאה של תהליך אקראי; שניהם שייכים, לצד תופעות רבות בטבע, לסוג מיוחד, אך — כפי שנתברר — נפוץ מאד של יצירים הנקראים פראקטלים (Fractals).

לפני שנגדיר את המושג פראקטל, נתעכב קמעה על אחת מתכונותיהם האופייניות — תכונה המצויה הן בירח והן בגבינה השוויצרית. למתבונן בלבנה בעין חשופה מתגלים רק המכתשים הגדולים ואף הם נראים יותר ככתמים מעורפלים מאשר מכתשים ממש. אך כבר בהגדלה קטנה מתגלים הרבה ״חורים״ נוספים, בגדלים שונים, הממלאים את שטח פני הירח. והנה, ככל שמתבוננים בירח בטלסקופים גדולים ורבי עוצמה יותר, מתמלאים גם השטחים החלקים לכאורה שבין המכתשים, בשפע של שקערוריות חדשות שלא נתפשו בעין בהגדלה הקטנה יותר, וכך נמשך הדבר עד שמגיעים סמוך לגבול החדות של הטלסקופ. מי שציפה עם פתיחת עידן החלל — כי מנקודת התצפית של אדם הניצב בשתי רגליים על הירח ממש, תשתנה התמונה והמכתשים יראו גדולים ורחוקים יותר זה מזה, התאכזב. מכל מרחק שהוא עדיין נראים מכתשים חדשים, קטנים וצפופים באותה מידה; מה שהיה מכתש זעיר מנקודת התצפית הקודמת הפך מכתש גדול, ואילו השטח שבין המכתשים זרוע כולו מכתשים זעירים חדשים.

הוא הדין בגבינה השוויצרית; ככל שמתבוננים בה באמצעות זכוכיות מגדילות חזקות יותר — לעולם יתגלו לעין חרירים זעירים במקום שקודם לכן נראה השטח חלק. משמע, התבוננות בגבינה בהגדלה כלשהי מציגה לעינינו מרקם דומה לזה שהתגלה לעינינו בשלב הקודם.

תכונה זאת היא אחד המאפיינים החשובים של כל הפראקטלים, והיא נובעת, כפי שנראה בהמשך הדברים, מתכונה מתימטית הנקראת ״דמיון עצמי״. הכינוי — פראקטל, השאוב מן המילה הרומית Fractus, דהיינו — שבור, הוצע לראשונה בשנת 1975 על-ידי בנואה ב׳ מנדלברוט, בספרו; ״Les Objects Fractals״. מונח מתימטי זה, הפראקטל, מתיחס לתופעות רבות בעולם המעשה ובטבע, שלכאורה אין כל קשר ביניהן, לדוגמא: המכתשים על פני הירח, התפלגות הגאלכסיות בחלל, מחזורי הגאות והשפל של הנילוס, תכיפות השיבושים בערוצי תקשורת וכיו״ב.

הפראקטלים הראשונים, עוד טרם כונו בשם זה, הופיעו בספרות המתימטית כבר בצאת המאה ה-19. היו אלו צורות תאורטיות גרידא, שכונו ״מפלצות״, משום שבתכונותיהן המוזרות איימו כביכול על עולמם היפה, המסודר והמוגדר היטב של המתמטיקאים. איש לא שער אז כי ל״מפלצות״ הללו יש משמעות כלשהי בעולם המציאות. חשיבותן היתה רק בכך שהן עזרו להאיר וללבן מושגים מתימטיים שונים.

פתיתי השלג של קוך

אחת המפלצות הללו היא ״פתית השלג״ של קוך; היא באה לאוויר העולם ב-1904. ״פתית השלג״ של קוך הוא צורה גאומטרית המתקבלת בדרך זאת: מחלקים כל צלע מצלעותיו של משולש שווה-צלעות לשלושה קטעים שווים (תמונה 1); על הקטע האמצעי של כל צלע בונים שוב משולש שווה-צלעות ומקבלים צורה של כוכב או מגן-דוד. כל צלע של המשולש המקורי הופכת איפוא ל-4 צלעות של כוכב, ואם נחזור שוב על אותה פעולה בכל אחת מצלעותיו של הכוכב, נקבל צורה המתקרבת לצורתו של פתית-שלג.

 

אך בזה לא תם ענייננו. אם נמשיך ונתמיד בתהליך זה עוד ועוד יווצרו לבסוף קטעים קטנים כל-כך עד שחזרה נוספת על אותה פעולה לא יהיה בה כדי לשנות, למראית-עין, את הצורה המתקבלת. צורה גבולית זאת, לאחר אינסוף צעדים, תיראה איפוא כמו בתמונה 2.

 

הנה כי-כן, הדמיון ״הפרוע״ של המתמטיקאי הוליד אב-טיפוס של יציר טבעי — הלוא הוא פתית-השלג המצוי. וכאן עולה שאלה מפתיעה אחרת: האם קו ההיקף של פתית-השלג ניתן עדיין לכנותו קו?

אמנם, כל אחד מן הקטעים שקטענו הוא כשלעצמו קו; אמנם, היקפו של המשולש הראשון שיצרנו הוא קו המורכב מ-3 קטעים; והיקף המגן-דוד אף הוא קו המורכב מ-12 קטעים, וכן הלאה. אך היקפו של פתית-השלג הסופי כבר איננו בדיוק קו, אלא מעין קו-חוף של אי משונן, המורכב ממספר אינסופי של קטעים, ואורכו של כל קטע כזה יהיה בעצם אפס(!). אפשר לומר שההיקף מהווה מעין יצור-כלאיים, שהוא יותר מקו אך עדיין אינו שטח. דו-משמעיות זאת מעוררת מיד את השאלה בדבר מספר המימדים של יצור זה. האם הוא 1 כשל קו; או 2 כשל שטח?

מהו מימד?

כולנו יודעים מהו מימד — או לפחות נדמה לנו שאנו יודעים. בבית הספר, מכל מקום, הוסבר העניין בפשטות: נקודות הן בעלות מימד אפס, קווים — ישרים או עקומים — הם חד-מימדיים, שטחים הינם דו-מימדיים וגופים הם תלת-מימדיים. אך מהו, בכל-זאת מימד? מהי הגדרתו המדוייקת? האם אפשר לנו תמיד לקבוע, ללא היסוס, מהו מספר המימדים של צורה גאומטרית כלשהי? די במבט חטוף על פתית-השלג כדי להיווכח שהתשובה לשאלה האחרונה אינה ברורה; ואמנם אפשר להמציא צורות שונות ומשונות אשר מספר מימדיהן עלול להיות שנוי במחלוקת. מכאן הצורך להגדיר את מושג המימד הגדרה חד-משמעית וברורה.

בתחילת מאה זו נעשו כמה נסיונות להגדיר מושג זה. פואנקרה, למשל, הגדיר בשנת 1912 את מושג המימד כך: אם הצורה ניתנת להפרדה בעזרת צורות בנות n מימדים — אזי היא בת 1 + n מימדים; ואילו לגבי נקודה אנו קובעים בהגדרה כי מימדה אפס. מכאן: קו הוא בן מימד אחד, כי הוא ניתן להפרדה לשני חלקים ע״י נקודה; שטח הוא בן שני מימדים, כי להפרדתו דרוש קו; גוף נחלק לשניים ע״י מישור, ומאחר שהמישור הוא בן שני מימדים — הגוף הוא בן 3 מימדים.

הגדרה אחרת למושג המימד נבעה מתורת הגאומטריה האנליטית. בתורה זו מוגדרות הצורות השונות בעזרת נוסחאות מתימטיות, אשר גודל מסויים בהן — ערך הפונקציה — תלוי בגדלים אחרים: הפארמטרים או הארגומנטים הבלתי תלויים. אם הנוסחה מכילה פארמטר אחד בלבד, הצורה היא בת מימד אחד; אם דרושים n פארמטרים — הצורה היא בת n מימדים.41 לדוגמא, הנוסחה 6 + y=5x מגדירה קו, ומאחר ש-y תלוי רק בפארמטר יחיד (x) הקו הוא בן מימד אחד. הנוסחה z=3x+4y מגדירה מישור, ומאחר ש-z תלוי כאן בשני פארמטרים (x ו-y), אנו אומרים כי המישור הוא בן 2 מימדים.

שתי הגדרות אלו למושג מימד ספגו מהלומה קשה כשהתברר במפתיע, בניגוד גמור ל״שכל הישר״, כי אפשר ליצור התאמה חד-חד-ערכית בין הנקודות של צורה חד-מימדית לאלו של צורה דו-מימדית; למשל: קטע וריבוע. מושג זה, ״התאמה חד-חד-ערכית״ לקוח מפרק בתורת הקבוצות הדן בקבוצות אינסופיות. גם בקבוצות שמספר איבריהן הוא אינסופי — כגון קבוצת כל המספרים השלמים, או קבוצת כל הנקודות על קו ישר — אפשר ״למנות״ את האיברים ולקבוע את גודל הקבוצה, יחסית לקבוצות אינסופיות אחרות. המספר המבטא את גודלה של קבוצה אינסופית נקראה מספר קארדינלי. מספרים קארדינליים הם איפוא מספרים אינסופיים, אך מתברר שכמו במספרים רגילים יש ביניהם גדולים יותר וקטנים יותר. לדוגמא: המספר הקארדינלי המסומן (בכל השפות!) בסימן ₀א מבטא את גודלה של קבוצת כל המספרים השלמים; המספר הקארדינלי c הוא מספר כל הנקודות של קו. אפשר להוכיח כי c גדול מ₀א. יתר-על-כן — אפשר להוכיח כי ₀א הוא המספר הקארדינלי הקטן ביותר שניתן למצוא. במילים אחרות: לא תיתכן קבוצה אינסופית שמספר איבריה קטן ממספר המספרים השלמים. מתי אומרים כי שני מספרים קארדינליים הם שווים? כאשר אפשר ל״זווג״ את איברי הקבוצה האחת עם איברי הקבוצה השניה, כך שלכל איבר כאן יהיה בן-זוג אחד ויחיד שם, ולהיפך. זיווג כזה נקרא התאמה חד-חד-ערכית.

בתמונה 3 מוצגת, לדוגמא, התאמה חד-חד-ערכית בין המספרים הטבעיים ובין השברים הפשוטים, החיוביים, שמוניהם 1: דוגמא אחרת להתאמה חד-חד-ערכית ידועה, היא זו הקיימת בין כל המספרים הממשיים (שלמים ושבורים) ובין הנקודות על קו ישר. קו כזה, שלכל אחת מנקודותיו מיוחס מספר, נקרא כידוע ״ציר המספרים״. בדוגמא הבאה, שהיא מפתיעה אולי במקצת, אנו רואים כיצד אפשר ליצור התאמה חד-חד-ערכית בין הנקודות של חצי-מעגל ובין אלו של קו ישר אינסופי (תמונה 4). כל קרן היוצאת ממרכז המעגל חוצה את ההיקף ופוגעת בקו הישר. שתי נקודות הפגישה הללו הן בנות זוג בהתאמה. אנו רואים כי לכל נקודה על חצי המעגל ישנה בת-זוג על הקו הישר, ולהיפך — למרות שאורך המעגל הוא סופי, בעוד שאורך הקו הישר אינסופי! פארדוקס מדומה זה מוסבר בכך שגם במעגל מספר הנקודות הוא אינסופי (אם ניקח את שתי הנקודות הקיצוניות בקצות חצי המעגל נמצא את בנות זוגן בשני ״קצות״ הקו הישר המרוחקים עד אינסוף, לפי שהקרן היוצאת ממרכז המעגל אל קצהו — מקבילה לקו הישר). תורת הקבוצות מוכיחה כי ישנם מספרים קארדינלים רבים ושונים. דהיינו, קבוצות אינסופיות בגדלים שונים, שאין כל דרך ליצור ביניהן התאמה חד-חד-ערכית. סביר יהיה להניח איפוא, כי מספר הנקודות במישור ודאי אינו יכול להיות שווה למספרן על קו; והנה, הוכיחו קנטור ופיאנו כי הנחה זו אינה נכונה. אפשר ליצור התאמה חד-חד-ערכית בין נקודות הקו ונקודות המישור, כך שלכל נקודה כאן תהיה בת-זוג אחת ויחידה שם, ולהיפך! משמע שאותה נוסחה — בעלת פארמטר יחיד — המתארת קו, מתארת למעשה גם את המישור כולו, שהרי לכל נקודה על המישור ישנה בת-זוג על הקו! ובכן, אפשר להגדיר את המישור בעזרת פארמטר אחד, ולכן המישור הוא כביכול בן מימד אחד בלבד.

 

 

גם ההגדרה האחרת כבר אינה תופסת. אמרנו כי אפשר להפריד קו לשני חלקים בעזרת נקודה. עכשיו יוצא כי גם את המישור אפשר להפריד לשנים ע״י נקודה! מאחר שלכל נקודה במישור ישנה בת-זוג על הקו, נוכל לומר כי חלק אחד של המישור יהיה זה שנקודותיו הן בנות זוג לחלק האחד של הקו, והחלק האחר של המישור — זה שנקודותיו בנות-זוג לחלק האחר של הקו.

הגדרת המימד של האוזדורף

הואיל וכך הציע האוזדורף בשנת 1919 גישה אחרת לבעיית המימד, המוצגת בשאלה זאת: מה קורה לצורה כלשהי כאשר מגדילים את אורכי קטעיה פי גודל קבוע? אם הגדלת אורך הצלע פי m גורמת להגדלת הגודל הכללי פי m^D, אזי מספר המימדים הוא D. מספר המימדים הוא איפוא המעריך (האקספוננט) בנוסחה המבטאת את הקשר בין הגדלת הצלע והגדלת הגודל הכללי.

לדוגמא: אם מכפילים את הרדיוס של מעגל נתון פי 5, יגדל ההיקף פי 5; במקרה כזה אנו אומרים כי היקף המעגל הוא בן מימד אחד. לעומת זאת, שטח העיגול יגדל אז פי 25. מכאן ששטח העיגול הוא בן 2 מימדים. כדור שרדיוסו גדל פי 5 — שטח פניו גדל פי 25 ונפחו גדל פי 125; לכן פני הכדור הם בני 2 מימדים והנפח בן 3 מימדים. אכן, כל הצורות הגאומטריות הזכורות לנו מבית-הספר — בנות 1, 2, או 3 מימדים — תואמות הגדרה זו. לאמיתו של דבר ידענו אינסטינקטיבית לקבוע את מספר מימדיה של צורה, והבינונו — פחות או יותר — כי מספר המימדים מבטא למעשה את מספר הכיוונים הניצבים זה לזה בחלל הצורה (לדוגמא, בתיבה: האורך, הרוחב והגובה). משום כך ברור היה לנו, כי מספר המימדים חייב להיות מספר שלם. אכן, אף לא עלתה בדעתנו אפשרות אחרת! אך הבה נראה מהו, לפי האוזדורף, מספר המימדים של פתית השלג (הכוונה לצורה הגבולית ולא לזו המתקבלת לאחר מספר סופי של צעדים).

שברי מימד

הבה נדמה את עצמנו בוחנים את הקטע הקטן ביותר של פתית השלג (תמונה 2) הנראה לעין, ותוך-כדי-כך מגדילים לפתע לעינינו את כל הקטעים פי 3. מאחר שהקטע הזעיר והישר לכאורה שהתבוננו בו גדל, אנו מבחינים כי הוא אינו ישר, אלא מורכב מ-4 קטעים שכל אחד מהם שווה באורכו לקטע הקודם. מה שקרה כאן הוא שהגדלנו את הקטעים פי 3, אך האורך הכולל של הצורה גדל פי 4! מכאן, מאחר שלפי האוזדורף מבטא המימד את הקשר בין הגדלת הצלע להגדלת הגודל הכללי, אזי המעריך D, המקיים 4=3^D, יהיה (לפי נוסחה ידועה):

המימד של פתית השלג (מקובל לומר ״מימד״ במקום ״מספר המימדים״) הוא איפוא 1.26 בקירוב. משמע — מספר לא שלם, שהוא יותר מ-1 אך פחות מ-2. יוצא איפוא, כי היקף פתית-השלג איננו קו (שמימדו 1) וגם לא שטח (שמימדו 2). ואכן, כפי שאמרנו קודם, ההיקף של פתית השלג הוא יציר מטושטש, הנמצא אי-שם בין קו לבין שטח.

רציפות וגזירות

האם יש בעולם הממשי, בנוסף לפתית השלג, משהו הדומה ל״מפלצת״ של קוך? כאמור, המתמטיקנים סברו בזמנו שצורה זו, וכן אחרות הדומות לה, אינן אלא פרי דמיון מתימטי פרוע, שדבר אין לו עם תופעות הטבע. כוונתם היתה להדגים באמצעותן את הבעיות הכרוכות במושגים מתימטיים, כגון רציפות וגזירות. קו ״רציף״, כפי שמסתבר משמו, הוא קו שאין בו הפסקות ואפשר לעבור לכל ארכו בעפרון — מבלי להרים את חודו מן הנייר.

קו ״גזיר״ גם הוא קו רציף, אבל ״חלק״ יותר — קו שאינו משנה את כיוונו באורח42 פתאומי, דהיינו קו שאין לו זוויות. כל חוקי הפיזיקה שלמדנו בביה״ס — במכניקה, בתורת החום, בתורת החשמל וכד — מתוארים ע״י קווים רציפים וגזירים. התלות בין עוצמת הזרם החשמלי והמתח מתוארת ע״י קו ישר; הקשר בין העוצמה וההתנגדות — ע״י היפרבולה; חוקי ניוטון מכתיבים לכוכבי-הלכת מסלולים אליפטיים; נפילה חופשית מתוארת ע״י פרבולה, וכן הלאה. אכן שפר מזלם של המדענים שהמציאות שנתגלתה להם נהגה עפ״י הגיון זה. אילו היו חוקי הטבע מבוטאים ע״י נוסחאות לא גזירות, היה הטיפול בהם, פיתוחם והוכחתם, קשים או בלתי אפשריים. קו רציף, כמובן, אינו חייב להיות גזיר (חלק) לכל אורכו. לדוגמא, הסינוסואידה (תמונה 5) היא קו רציף וגזיר. הציקלואידה (תמונה 6) , לעומת-זאת, היא אמנם רציפה, אך יכולות להיות בה נקודות חוד, שבהן אינה גזירה. ברם, בין כל שתי נקודות כאלו הקו הוא חלק.

 

 

צורות ״מפלצתיות״ כגון פתית השלג של קוך ואחרות, מאופיינות בנוסף לעובדה שמימדן אינו שלם — גם בתכונה ״מפחידה״ אחרת; הן אינן גזירות בשום מקום! במילים אחרות, בכל נקודה ונקודה יש בהן חוד ולא קיימים כלל קטעים חלקים בין החודים!

קווי-חוף אינסופיים

כאמור, נראה היה שחשיבותם של קווים אי-רגולריים אלה היא עיונית בלבד, וכי בטבע שולטים הקווים הרגולריים היפים והחלקים. מתברר, כפי שמנדלברוט היטיב להראות, כי בטבע נפוצות דווקא ״המפלצות״ הללו ודומותיהן יותר מאשר הצורות הרגולריות הפשוטות והחלקות. נראה להלן כמה דוגמאות לכך ונתחיל בדוגמא בולטת וידועה למדי: קו החוף.

באטלסים ישנים נהגו לציין, בין יתר הנתונים על מדינה זו או אחרת, את אורך קו החוף שלה. ואכן, דורות של תלמידים התייחסו לנתונים אלה כאל מימצאים עובדתיים חד-משמעיים. ובכל-זאת, הטוען כי אורך קו החוף של מדינה כלשהי הוא כך וכך קילומטרים, אינו אלא בדאי, שכן מספר זה הוא פיקציה חסרת כל משמעות. אי-אפשר לקבוע מהו אורך קו החוף, גם לא בערך, משום שהאורך גדל ככל שדרגת הדיוק של המדידה גדלה. אם נדייק יותר נקבל חוף ארוך יותר, ואין גבול עליון לגידול זה באורך. ניקח לדוגמא את חופה של ישראל במפה רגילה שקנה המידה שלה הוא 1:1,000,000. קו החוף חלק כמעט לגמרי, והמפרץ היחיד הנראה בה הוא זה של חיפה (תמונה 7). אם נמדוד בסרגל את אורך קו החוף על מפה זו ונכפיל בקנה המידה, נקבל מספר של כמה מאות קילומטרים. אם ניקח מפה מפורטת יותר, של 1:100,000, למשל, יתקבל קו-חוף מפורץ הרבה יותר, ובמקום שהקו יהיה ישר, הוא מתפתל עתה לאורך מפרצים (תמונה 8). תמונה זו תחזור על עצמה ככל שנעיין במפות בעלות קנה-מידה קטן יותר, וככל שהקו יהיה מעוקל ומפורץ יותר, כן יגדל אורכו של קו החוף (תמונות 9 ו-10). אך בזאת לא די – כאשר נשקיף על החוף מראש גבעה נגלה עוד מפרצים קטנטנים שאינם מופיעים גם במפה המפורטת. ואם ניגש אל שפת הים ממש, נבחין כי כל גל יוצר מפרצונים זמניים בחוף, המונעים מאתנו את האפשרות לקבוע היכן עובר קו החוף המדויק והמגדילים שוב את האורך הכולל של החוף כמה מונים. עכשיו, אם נזכור שקו החוף מורכב, למעשה, מאבנים ומגרגירי חול, וכל גרגיר כזה גורם לעיקול נוסף של הקו, וכל עיקול ארוך בהרבה מן הקטע הישר, נבין שהסיפור הזה אין לו סוף, שכן ברמת הגדלה נוספת נתייצב מול העיקולים של הפרודות ולאחריהן של האטומים ומרכיביהם, אשר המושג ״היקף״ חסר משמעות לגבי דידם:

אמת, איש אינו מעוניין בפרטים כה קטנים בהקשר של אורך חוף; ואף-על-פי-כן השאלה שרירה וקיימת: מהו גבול הדיוק המציין את מידת הפירוט הרלוונטית? לאמיתו של דבר אין גבול ברור כזה, ולכן אין גם שחר למספר המבטא, כביכול, את אורך החוף. כל מה שאנו יכולים לומר הוא, כי אורך החוף תלוי ביחידת המידה, והוא שואף לאינסוף כאשר יחידת המידה הולכת וקטנה. הבה ננסח זאת ביתר דיוק.

 

אם ניקח סרגל ישר שאורכו קילומטר ונמדוד את אורך החוף ע״י הנחת הסרגל לאורכו פעמים רבות כנדרש, נקבל תוצאה43 מסוימת; אם ניקח סרגל קצר יותר — נקבל תוצאה גבוהה יותר, כי הסרגל ישתחל עכשיו גם למפרצים קטנים מקילומטר. אורך הסרגל משמש כאן באותו תפקיד כמו קנה המידה של המפה: התוצאה תגדל בלי גבול עם הקטנת אורך הסרגל. כאן המקום להדגיש את ההבדל בין קו חוף לבין קו רגולרי. אם נמדוד באותה שיטה את אורכו של קו ישר, לא תהיה התוצאה תלויה באורך הסרגל; אם נמדוד מעגל, למשל, תהיה אמנם התוצאה יותר ויותר גדולה כבל שאורך הסרגל שבידנו יקטן — אך היא תשאף לגבול סופי מסויים, ולא לאינסוף. גבול זה הוא אורך המעגל. בקו-חוף אין גבול בזה.

 

עם זאת ברור, שיש חופים חלקים וקצרים ויש חופים מפורצים וארוכים. כיצד נבטא איפוא את ההבדל בין חוף, כגון זה של ישראל, לבין חופה של נורווגיה? כאן נוכל להעזר במודד זה שקראנו לו מימד. חוף חלק לגמרי (ולמעשה אין כזה במציאות) — ישר או עקום, הוא קו רגולרי ומימדו הוא 1. חוף מפורץ מאד, לעומת- זאת, דומה לפתית השלג של קוך. בשני המקרים אורך הצורה הגבולית הוא אינסופי ובשניהם הקו הוא כה מפותל, עד שהוא חדל להיות קו ועובר לתחום הביניים המטושטש שבין קו לבין שטח. המימד של חוף כזה לא יהיה איפוא 1, כשל קו, אלא קצת גבוה מזה. ככל שהחוף מפורץ יותר, יהיה המימד גבוה יותר. המימד מבטא איפוא את מידת אי-הרגולריות של הקו, וליתר דיוק — את מידת התרחקותו מקו והתקרבותו לשטח.

מכאן, מימדו של חוף נורווגיה הינו גבוה מזה של ישראל.

חוק ריצ׳רדסון

אם-כן, השאלה הניצבת לפנינו היא איך מחשבים למעשה את מימדו של חוף? הדרך לחישוב המימד מסתמכת על משפט הקובע את הקשר המדוייק בין יחידת-מידה לבין44 אורך החוף המתקבל. המדידות שביצע המדען הבריטי ריצ׳רדסון (1961) בחופים שונים של כדור-הארץ, הראו, למעשה, כי למרות שאורך החוף המתקבל במדידה תלוי כאמור ביחידת המידה, והוא גדל יותר ויותר ככל שיחידת המידה קטנה — הרי שקצב גידולו אופייני לכל חוף והוא שונה מחוף לחוף. קצב זה נקבע לפי המעריך בנוסחה שמצא ריצ׳רדסון, הדומה מאד לנוסחה שממנה מקבלים את המימד של פתית השלג, או של כל פראקטל אחר. רשימותיו של ריצ׳רדסון בנושא זה לא זכו לתשומת לב בזמנו, והיה זה מנדלברוט שעמד בשנת 1967 (לאחר מות ריצ׳רדסון) על משמעותו של מימצא זה ועל הקשר בין המעריך בחוק ריצ׳רדסון לבין מושג המימד של פראקטל. חישוביו של ריצ׳רדסון מורים כי מימד החוף המערבי של בריטניה (שהוא מפורץ ביותר), הוא 1:25; לעומתו, קו החוף של דרום אפריקה (שהוא חלק ביותר) הוא בעל מימד 1:20.

דמיון עצמי

לפי הגדרתו של מנדלברוט, פראקטל הוא כל צורה שמימדה מבוטא במספר, בדרך כלל לא שלם, השונה מן המימד האינטואיטיבי, הטופולוגי, שלה. למשל — קבוצת נקודות שמימדה אינו אפס (ראה קבוצת קנטור, להלן), קו שמימדו שונה מ-1 (קו קוך) וכדומה. תכונה נוספת המאפיינת רבים מהפראקטלים היא תכונת הדמיון העצמי; אם ניקח קטע מהקו של קוך, נראה שהוא מורכב מכעין דמות של איש-שלג גדול (תמונה 12) ולצידיה שתי דמויות קטנות יותר, שכל אחת מהן היא העתק נאמן של הדמות המרכזית, וכך חוזר חלילה עד אין-סוף. קטע זה דומה איפוא דמיון מדוייק לחלקיו.

 

דוגמא אחרת של צורה המצטיינת בדמיון עצמי — אלא שבה המימד גדול מ-2 — הוא ״הספוג״ של סירפינסקי (תמונה 13). אנו רואים כי שלושה מסדרונות גדולים עוברים במפולש, ב-3 כיוונים דרך מרכז הספוג, וסביבם עוד מסדרונות יותר ויותר קטנים. אם נחלק את הספוג ל-27 קוביות, ניווכח כי 7 מהן אינן אלא חללים ריקים, בגלל המסדרונות הגדולים, ואילו 20 הקוביות הנותרות אף הן ספוגים עם מסדרונות המותקנים בהם על-פי אותה תכנית שמייצגת את הספוג השלם. גם כאן קיים איפוא דמיון עצמי מוחלט בין הצורה ובין חלקיה. הגדלת צלע הספוג פי 3 מגדילה את נפחו פי 20, והמימד הוא איפוא המעריך D, המקיים 20 = 3^D, דהיינו — 2.72 בקירוב.

 

45

קו פיאנו

האם יתכן קו שמימדו בדיוק 2? צורה כזו ודאי שאינה קו. כיוון שמימדה 2 היא הופכת להיות שטח ממש. המפלצת המכונה ״קו פיאנו״, שנולדה ב-1890, היא צורה-קו מסוג זה והיא מתקבלת כך:

מציירים בתוך ריבוע קו שבור סגור (תמונה 14), נוטלים ריבוע ריק, מחלקים אותו לארבע ריבועים, ובכל רבע מציירים את הקו השבור האמור; מחברים את 4 הצורות זו לזו באיזור המרכז (תמונה 15); שוב נוטלים ריבוע ריק, ובכל אחד מרבעיו מציירים את הצורה שהתקבלה, תוך חיבור ארבעת החלקים זה לזה (תמונה 16), וכן הלאה. בסופו של דבר, לאחר אינסוף חזרות על אותה פעולה, מתקבל קו הממלא את כל הריבוע (תמונה 17). בניגוד לפתית השלג, אין טעם במקרה זה לצייר את הקו הגבולי, משום שהוא אינו אלא הריבוע המושחר כולו. מימדו של קו בזה צריך איפוא להיות 2.

הבה נראה אם אמנם כך הוא לפי הגדרת האוזדורף; בעת הגדלת הצלע פי 2, הופכת הצורה ל-4 צורות זהות. האורך הכולל גדל איפוא פי 4; D מקיים הפעם, אם כך, 4 = 2^D; ולכן המימד, שהוא המעריך, הוא במקרה זה 2.

גירסה אחרת של קו פיאנו, היינו קו הממלא שטח, מוליך ליציר הדומה לפרשת מים, המורכבת מנחל עיקרי — על מערכת ערוציו הנשפכים אליו, ביחד עם היובלים המנקזים את האיזור אל הים. בתמונה 18 אנו רואים שלב ביניים של התהליך לבניית הפראקטל; בשלב הסופי יהיה, כמובן, השטח מושחר כולו, ופיתולי הנהר יהיו צפופים וקטנים עד אינסוף. מימדו של הנהר העיקרי לא יהיה 1, כשל קו רגיל, אלא 1.13 ואילו המערכת כולה, הממלאת, כאמור, את כל השטח, מימדה 2.

 

תנועת בראון

בחבורה אחת עם קו החוף ופראקטלים אחרים מן הטבע, נמצאות גם צורות שמקורן בתופעה הקרויה ״תנועת בראון״, שנתגלתה ע״י הפיסיקאי האנגלי רוברט בראון, בתחילת המאה ה-19. תופעה אופיינית של ״תנועת בראון״ מתגלה באלומת אור החודרת לחדר מבעד לחרכי-תריס; העין מגלה ריצוד של רסיסי אבק המתרוצצים בכל הכיוונים בתנועות קצרות ומהירות מאד. אותה תופעה אפשר לראות גם כאשר מתבוננים מבעד למיקרוסקופ בשכבת נוזל מואר המכיל גרגירים מיקרוסקופיים. הגרגירים מתרוצצים בכל הכיוונים בתנועות קצרות ומהירות, בהשפעת הדחיפות שהם מקבלים מפרודות הנוזל. לכאורה צריכים היו הגרגירים להיות נייחים, כיוון שצפיפות הפרודות ומהירותן תלויות בטמפרטורה, ואלה אחידות פחות או יותר בכל חלקי הנוזל. אך דבר זה נכון רק בממוצע. אם נבחן אזורים קטנים מאד של הנוזל, יתברר שישנם הבדלים ניכרים בצפיפות ובמהירות הפרודות בין אזור לאזור; ולכן הגרגירים המרחפים בנוזל אינם נדחפים במידה שווה בכל הכיוונים. בכל רגע סופג הגרגיר חבטות מכיוונים שונים ובעוצמות שונות, והוא נדחף איפוא בכל פעם בכיוון אחר. מה לתנועות אלה ולפראקטלים? מסתבר שאין אנו מסוגלים לראות את התנועות הקצרות ביותר, שהן פועל יוצא של חבטות הפרודות, גם לא במיקרוסקופ החזק ביותר; כל שאנו רואים הוא רק אותן תנועות המורכבות מצירוף של קטעי תנועה רבים. בכל הגדלה שהיא נראה איפוא אותה תמונה: החלקיק נע במסלול שבור שקטעיו הינם בעלי אורך שונה, עד לאורך הקטן ביותר הנראה לעין (תמונה 19). ההגדלה מראה כי אותם הקטעים שנראו קודם ישרים, מורכבים למעשה אף הם מקו שבור בעל קטעים קטנים יותר. והרי לנו פראקטל כשר למהדרין. ברור שלא נמצא חפיפה מדוייקת בין הקו ובין חלקיו, אך ישנה זהות בין התכונות הסטטיסטיות שלהן: ההתפלגות — מספר הקטעים בכל אורך ואורך ובכל כיוון — אחידה בכל הגדלה. תכונה זו נקראת ״דמיון עצמי סטטיסטי״.

 

התופעה של ״תנועת בראון״ נתנה דחיפה לפיתוח תורה מתימטית העוסקת בחקר תופעות מסוג זה — סדרות ארוכות של ארועי-אקראי הבאים בזה אחר זה. המונחים ״תנועת בראון״ וכן ״טיול אקראי״, הפכו להיות מושגים מתימטיים כלליים למדי. מנדלברוט מראה כי המימד של ״תנועת בראון״, בתנאים מסויימים, הוא 2. פירוש הדבר שתנועתו של אותו גרגיר מתארת קו, ההופך למעשה שטח. במילים אחרות — אם נגביל את תנועתו למישור בלבד, הוא יגיע במשך הזמן לכל נקודה במישור. מאידך, כיוון שהמימד הוא 2, הרי המסלול רחוק מלמלא נפח (שמימדו 3). לכן, אם נרשה לגרגיר לנוע במרחב התלת-מימדי, הוא יעבור רק בחלק קטן ממנו — גם לאחר חלוף זמן אינסופי.

הדוגמא הפשוטה ביותר ל״טיול אקראי״ היא תנועה המוגבלת לאורכו של קו ישר.46 אם נקודה הנמצאת על קו ישר חופשית לנוע באורח אקראי — בכפיפות למגבלות מסוימות — הלוך ושוב לאורך הקו, אנו מקבלים ״תנועת בראון״ מן הסוג הפשוט ביותר. ״תנועה״ כזו מופיעה כאשר עוקבים, למשל, אחר מצבו של שחקן פוקר דרך תהפוכות המשחק: הוא מתחיל מסכום כסף מסויים, שהוא נקודת ההתחלה על הקו המאונך שלנו. בכל ״סיבוב״ מפסיד או מרוויח השחקן סכום מסויים, והנקודה זזה בהתאם לכך מעלה או מטה על הקו. מקומה של הנקודה על הקו בסוף המשחק, יחסית לנקודת ההתחלה, מצביע על הרווח הכולל, או ההפסד הכולל, של השחקן.

בדוגמא זו התזוזה הקטנה ביותר של הנקודה היא כשעורו של המטבע המשמש כיחידת ההימור במשחק. אם השחקנים משתמשים בלירות, למשל, אין השחקן יכול להרוויח או להפסיד פחות מלירה בכל סיבוב. אולם ישנן תופעות רבות בטבע, שבהן אין גבול תחתון לשעור התנודה, והנקודה יכולה לעלות ולרדת גם בצעדים זעירים ביותר.

לדוגמא: ההשתנות, משנה לשנה, של הטמפרטורה הממוצעת בחודש מסויים, או שינויי הגובה המירבי של פני הנהר וכיוצא בזה. דוגמא שונה במקצת באופייה היא, למשל, השתנות אחוז הלחות באוויר במשך היום. כאן ההשתנות היא רצופה, ושעור התנודה תלוי בתכיפות המדידות. נוכל למדוד פעם בשעה, או פעם בדקה, או פעם באלפית השניה — תמיד נמצא שעורי שינוי קטנים יותר ויותר. תופעה זו דומה איפוא למה שראינו לגבי פני הירח או קו החוף: בכל ״הגדלה״ שהיא מתגלים פרטים יותר ויותר קטנים. שוב יש לנו עסק בפראקטל, שמימדו נקבע בהתאם לתכונותיה המיוחדות של התופעה שאנו עוסקים בה. אפשר לחקור כל תופעת-טבע כזו כשלעצמה ולחשב את תכונותיה; אך כדי לעמוד על החוקיות הכללית החלה על פראקטלים שונים מסוג זה, אנו מייצרים אותם באורח מלאכותי, בדרך של החקייה (סימולאציה) במחשב, וקובעים את תכונותיהם כרצוננו. לפעמים מתקבלים בדרך זו פראקטלים מוזרים, שאין להם, לכאורה, אח ורע בטבע, אך לעתים התוצאה המתקבלת מהמחשב קרובה באופייה לתופעת טבע מצויה. במקרה זה המחשב עוזר לנו לחשב את מאפייניה של התופעה הטבעית. קל לעבור מ״תנועת בראון״ לאורך קו ישר, אל ״תנועת בראון״ במישור. במקרה זה מוגדרת הנקודה הנעה ע״י שני מספרים, כמו הקואורדינטות במפה. בל אחת מהקואורדינטות, בנפרד ובלי תלות בשניה, משתנה באורח אקראי, בדיוק כפי שתארנו זאת לגבי ״תנועת בראון״ על קו ישר. בכל שלב מתקבלות שתי קואורדינטות חדשות, והנקודה זזה איפוא למקום חדש במישור. בדרך זו ניתן לקבל קו הנע במישור. בתנאים מסויימים אנו מקבלים, שוב, קווים הדומים לתופעות טבע קיימות, כגון קו-חוף או קו-רכס של שרשרת הרים.

החקיית נופים

ברור שקל לעבור גם ל״תנועת בראון״ במרחב התלת-מימדי, וזאת ע״י הגדרת הנקודה בעזרת 3 קואורדינטות — אורך, רוחב וגובה — שכל אחת מהן משתנה באורח אקראי. במקרה זה נקבל קו ה״מטייל״ במרחב, בדומה למעופו של פרפר — מעלה ומטה, ימינה ושמאלה, קדימה ואחורה. ברם, תוצאה מעניינת יותר תתקבל אם נכפה על המחשב לצייר סדרה של קוי-רכס, זה בצד זה, כאשר השינוי מקו אחד לשכנו אף הוא אקראי וכפוף למגבלות נתונות מראש (תמונה 20). התוצאה, בתנאים מסויימים, היא משטח גבנוני במרחב התלת-מימדי, הדומה דמיון מפליא לאזור הררי אי-שם על פני כדור הארץ. כמו בכל פראקטל, ה״גבנוניות״ של משטח זה מלאה פרטים זעירים, ובכל הגדלה שהיא נשאר המראה כללי ללא שינוי. המימד של שטח כזה איננו 2, כשל משטח רגולרי, אלא גבוה מזה.

 

דמיון בין משטח כזה, יצירת המחשב, ובין נוף מציאותי על כדור הארץ, מאפשר לנו לאמוד את תכונותיו הפראקטליות של הנוף הטבעי. יתר-על-כן, אם נחתוך את המשטח במישור אופקי, בגובה רצוי כלשהו, או נציף את המשטח במים עד לגובה מסויים, נקבל שרשרת של אגמים (תמונה 21). או — אם נעלה את גובה המים די הצורך — ארכיפלגוס של איים בעלי מראה טבעי ביותר. שינוי בתכונות שאנו מכתיבים למחשב יביא ליצירת ארכיפלגוס צפוף ומסובך יותר או פשוט יותר, כרצוננו (תמונה 22). בדרך דומה לזו אפשר לקבל גם מפה דמיונית כללית של כוכב לכת כלשהו, שתכונותיו הגאוגרפיות שונות או דומות לאלו של כדור הארץ. בכל המקרים הללו, הפראטקלים הנוצרים ע״י המחשב משמשים כחומר לימוד מאלף לחישוב תכונותיהן של תופעות טבע מקבילות ויש בהם כדי לאשר — או לתקן — את המימצאים והאומדנים47 שנתקבלו במדידות בשטח. לדוגמא: על-פי אחת התאוריות — חמש היבשות הקיימות כיום היוו פעם גוש יבשתי אחד, שניתן לו השם ״פאנגיאה״. אם מחשבים מתון הציורים המקובלים של יבשת זו את מימד קו החוף שלה, מקבלים 2.3 בערך. המחשב, לעומת זאת, מצביע על כך שקו החוף של יבשת כזו, בתנאים הדומים לאלה ששררו אז על כדור הארץ, צריך להיות בעל מימד של 1.5 בערך, ולא 2.3.

 

 

48

קבוצת קנטור ותקשורת-נתונים

בשנת 1883 הראה הלוגיקן קנטור, כי תיתכן גם ״מפלצת״ שהיא יציר-כלאיים בין קטע (שמימדו 1) ובין קבוצת נקודות (שמימדה אפס). הוא נטל קטע וסילק ממנו את שלישו האמצעי. מכל אחד משני הקטעים הנותרים סילק שוב את השליש האמצעי, וכך חוזר חלילה.

בסופו של דבר הפכו הקטעים לנקודות שקשה להבחין בהן (תמונה 23). גם כאן קיים, כפי שרואים מייד, דמיון עצמי מדוייק בין הצורה ובין חלקיה. מנדלברוט הראה כי פראקטל דומה מאד לזה קיים גם בעולם המעשה בתחום תקשורת נתונים. ״רעש״ הוא השם שניתן בתקשורת לאותות בלתי רצויים ממקור כלשהו, המתלווים לאותות של המסר המשודר.

 

סוגים מסויימים של רעש מאופיינים ע״י התכונות הסטטיסטיות של תופעה אקראית לחלוטין. התדירות ועוצמת האותות של רעש כזה אינן קבועות, ומדי פעם עלול להופיע אות בעל עוצמה חזקה עד כדי שיבוש השדר.

אם נבדוק את המצב בערוץ התקשורת בכל פרק זמן קבוע, נמצא כי באחדים ממירווחי הזמן נופלים שיבושים, ובין כל שני מירווחים כאלה יש פרק זמן של רגיעה. אולם, בדיקה מדוקדקת יותר של מקבצי השיבוש מראה כי כל מקבץ (Burst) כזה מורכב ממקבצים קטנים יותר של שיבושים מופרדים ע״י פרקי זמן שקטים. אם נגדיל שוב את דרגת הדיוק, נראה כי כל מקבץ קטן מתפצל למקבצים קטנים יותר של שיבושים וביניהם — רווחי-רגיעה וכן הלאה. אנו מקבלים סדרה של רמות מקבצים, דהיינו פראקטל, בעל דמיון עצמי סטטיסטי. המימד של פראקטל זה יכול לשמש כמודד לטיב התקשורת בערוץ, והוא שונה מערוץ לערוץ, בהתאם למבנה הערוץ ולתכונותיו. תמונה 23, המתארת את קבוצת קנטור, היא למעשה סכימה של פראקטל כזה, שבו משך הזמן של כל מקבץ-שיבושים הוא שליש מהזמן הכולל, וזהו גם אורך תקופת הרגיעה. אם נאריך את משך הזמן הכולל פי 3, נקבל עוד מירווח שקט ואחריו עוד מקבץ של שיבושים. יוצא איפוא, כי הכפלת ה״צלע״ פי 3 מגדילה את האורך הכולל של זמן השיבושים פי 2. המדד בדוגמא זו הוא איפוא המעריך בנוסחה 2 = 3^D, כלומר 0.63 בקירוב.

מבנה היקום

לסיום נביא עוד יישום של מושג הפראקטל, המתייחס הפעם לאופן פיזורם של הכוכבים בחלל. נושא זה יש לו קשר עם הבעיה שנתעוררה בתחילת המאה הקודמת, המכונה ״הפראדוקס של אולברס״. אם נצא מההנחה, שנראתה בזמנו מתבקשת כמעט מאליה, כי סך-הכל המאסה ביקום היא אינסופית, ונניח גם כי הכוכבים (או הגאלכסיות) מפוזרים בחלל באופן אחיד — כך שהצפיפות הממוצעת של היקום שווה בערך בכל מקום — נגיע למסקנה העומדת בסתירה לעדות חושינו: הלילה חייב להיות בהיר כמו היום, וכל השמיים כולם צריכים להיות לוהטים כשמש! דבר זה מוכח בדרך הבאה: נסתכל בכל הכוכבים הנמצאים במרחק מסויים, קבוע, מאתנו. הם מפוזרים על מעטפת כדור שהארץ נמצאת במרכזו. מהו מספרם הכולל של כוכבים על מעטפת זו? מאחר שהנחנו כי הכוכבים מפוזרים ביקום באורח אחיד, הרי שמספרם פרופורציוני לשטח המעטפת, דהיינו לריבוע המרחק מן הארץ. מאידך, עוצמת האור המגיעה אלינו מכל כוכב של מעטפת זו פרופורציונית הפוכה לריבוע המרחק. יוצא שעוצמת האור הכוללת המגיעה אלינו מן המעטפת כולה היא קבועה, ללא תלות במרחק. לכן, אם נסכם את האור של אינסוף מעטפות כאלו, זו מעל זו, נגיע, כמובן, לעוצמת אור אינסופית.

בינתיים ניתנו שתי תשובות נפרדות לפארדוקס זה. ראשית, לפי תורת היחסות הכללית, היקום איננו אינסופי; מעקרונות התאוריה של אינשטיין נובע שסך-כל המאסות ביקום הוא סופי. שנית, ובלי קשר עם תורת היחסות, מקובלת כיום התאוריה על התפשטות היקום, לפיה מתרחקות הגאלכסיות זו מזו, ומהירות התרחקותן הולכת וגדלה עם המרחק. החל ממרחק מסויים ואילך, מהירות ההתרחקות מגיעה למהירות האור, ולכן קרינת האור של אותן הגאלכסיות המרוחקות אינה יכולה להגיע אלינו. מכאן, האור המגיע אלינו נובע רק ממספר סופי של כוכבים/גאלכסיות. אולם בשנת 1907 עשה פורנייה נסיון ליישב את הסתירה בדרך אחרת. אנו יודעים כי הכוכבים מרוכזים בחלל בקבוצות-ענק הנקראות גאלכסיות. כיום ידוע כי גם הגאלכסיות עצמן מקובצות בצבירים, וכבר מדובר גם על צבירי-על, דהיינו — צבירים של צבירי-גאלכסיות. אמצעי התצפית שלנו אינם מאפשרים לנו להרחיק אל רמה שמעבר לזה, אך האם לא יתכן שגם צבירי-העל מקובצים בקבוצות, וכן הלאה? אכן, תמונה זו מתאימה לתאוריה של פרד הויל על היווצרות היקום (לפי הויל נוצרו הכוכבים מהתפרקותן של מאסות חומר גדולות לשברים יותר ויותר קטנים). המרחקים בין הגאלכסיות הם עצומים בהשוואה למרחקים שבין הכוכבים בתוך הגאלכסיות. אותו יחס של קלישות יחסית שורר גם בין צבירי הגאלכסיות, לעומת ה״צפיפות״ בתוך כל צביר. אם יחס זה נשאר בעינו דרך אינסוף כמות של צבירים וצבירי-צבירים, כי אז מופרך הפארדוקס של אולברס מסיבה הרבה יותר יסודית מאלו שהזכרנו קודם: במינוחו של מנדלברוט, היקום לפי תמונה זו הוא פראקטל שמימדו איננו 3 אלא קטן מזה, ולכן החישוב דלעיל של מספר הכוכבים במעטפת אינו תופס. כפי שמנדלברוט מציין, כיום כבר אין צורך בהנחת יקום פראקטלי כדי ליישב את הפארדוקס של אולברס; ובהעדר מניע לא הרבו האסטרונומים לחקור את אפשרותם של צבירים מעל לשתים-שלוש רמות. הסיבה לכך היא, כנראה, שעד כה ידעו לטפל רק ביקום, אשר החל מרמה מסויימת פיזור המאסות שבו אחיד, ולא היו הכלים המתימטיים לטיפול באפשרות של אינסוף רמות צבירים.

מהו איפוא מימד היקום, אם איננו 3? התצפיות מראות כי צפיפות המאסות ביקום איננה אחידה, אלא הולכת וקטנה ככל שאנו חודרים בתצפיותינו למרחקים גדולים יותר. אילו היתה הצפיפות אחידה, היתה המאסה הכוללת ביקום פרופורציונית לחזקה השלישית של טווח התצפית. למעשה המעריך של חזקה זו איננו 3, אלא — ככל שניתן לאמוד כיום — בערך 1.3.

שמי הלילה הם שחורים איפוא, גם משום שיקום זה שאנו חיים בו הוא בן 1.3 מימדים.

סיכום

נראה שה״פראקטל״, מונח חדש זה שהציג בפנינו מנדלברוט לפני זמן כה קצר, יישאר עמנו לאורך זמן. מנדלברוט פקח את עינינו לראות כמה נפוץ וכמה יסודי מושג זה, הן בטבע הסובב אותנו והן בתופעות סטטיסטיות הקשורות באורחות חיינו. פראקטלים מופיעים לא רק במדעים כגון מתימטיקה ואסטרונומיה, אלא גם מספקים את החוקיות המתימטית לפיתולי הנהרות, למחזורי הגאות והשפל של הנילוס, לצפיפותם ולגידולם של איים בארכיפלגוס, להסתעפויות ענפי העץ ועורקי העלה, וכן גם בגופנו אנו: להסתעפות של מערכת כלי הדם ושל שקיקי האוויר בראות. דומה שגם הפעם היתל בנו הטבע. אותן ״מפלצות״ שנוצרו בדמיונם הפורה של המתמטיקנים — כעדות גאה (ואולי גם מעט מתנשאה) לעושרה הבלתי מוגבל של המתימטיקה, לעומת פשטותו ודלותו הצורנית של הטבע — אינן אלא בבואתה המתימטית של המציאות הטבעית הסובבת אותנו. וכדבריו של פרימן דייסון מאוניברסיטת פרינסטון: אם סבל מישהו מדמיון מוגבל, אין הוא הטבע אלא המתימטיקאים. אף-על-פי-כן יכולה המתימטיקה להתנחם בנצחון מתוק, לפי שהפראקטלים של ד״ר בנואה מנדלברוט, יש בהם כדי לחזק את גירסתו של גליליאו גלילי, לפיו ספר היקום כתוב בשפת המתימטיקה. שוחרי טובתה של המתימטיקה עשויים אף לראות בפראקטלים את התממשותה של האמירה הפילוסופית, כי היפה טמון בדברים המגלים חוקיות, סימטריה ואחדות המבנה.

49