הקדמה:
מחבר המאמר, ד״ר יגאל רונן (36), הוא מרצה בכיר במחלקה להנדסה גרעינית באוניברסיטת בן-גוריון בנגב. בין תחומי מחקרו פיתוח שיטות מתמטיות להערכת אי-ודאיות בחישובי כורים גרעיניים. עיסוקו בתחום זה הביאו להתעמק בנושא הדיוק.
״עושה גדלות עד אין חקר ונפלאות — עד אין מספר״. (איוב, פרק ט’, פסוק י׳)
חשיבות הדיוק להכרת הטבע באמצעות המדע, קשורה באופן הדוק לתפקיד שממלא הניסוי בהכרה זו. מידת האמינות של ניסוי מדעי נקבעת על ידי מידת הדיוק של אותו ניסוי. אין כיום עוררין בקהילה המדעית על התפקיד המכריע והבלעדי של הניסוי. יתרה מזאת, משמעות פיסיקלית קיימת אך ורק לגבי אותם גדלים פיסיקליים הניתנים באופן עקרוני למדידה. גדלים הקיימים אבסולוטית ללא קשר עם האפשרות העקרונית למדידתם או לאפשרות העקרונית לאימותם באופן ניסיוני, אינם שייכים לדיסציפלינה של מדעי הטבע. השקפה זו לגבי תקפותם של גדלים פיסיקליים לא היתה נחלת המדע מאז ומתמיד. היוונים הקדמונים, למשל, לא דגלו בהשקפה זו. לגביהם משמעותם של מושגים פיסיקליים נקבעה על-ידי התבונה ועל-ידי הסדר, שהתבטא על ידי המתמטיקה. הנסיון והאימות הנסיוני לא מלאו תפקיד מכריע לגבי קביעת משמעותם של מושגים פיסיקליים. כתוצאה מכך, היה הדחף לשיפור הדיוק במדידות נסיוניות מוגבל ביותר (להוציא אסטרונומיה, שהיבטה היה שונה לגבי היוונים הקדמוניים). אריסטו ביטא השקפה זו באומרו: “המאפיין אדם מלומד הנו החפוש אחר דיוק בכל קבוצת עצמים — רק באותה מידה שטבע העצם מאפשר זאת”. דעות אלו של היוונים שלטו במדעי הטבע לפחות עד המאה השש-עשרה. הראשון שייחס חשיבות מכרעת לדיוק המדידות היה האסטרונום טיכו ברהה (Tycho Brahe). מדידותיו המדויקות הביאוהו לחזות בצורה מדוייקת את הופעת הנובה של שנת 1572 ואת כוכב השביט של שנת 1577. תחזיות מדויקות אלו הביאו לתחילת ההכרה בחשיבות הדיוק במדידות. הכרה זו בחשיבות הדיוק במדידות אלצה את קפלר (Kepler) לוותר על התאוריות הראשונות שלו בדבר מסלולי הכוכבים, וביחוד לגבי המסלול של כוכב מאדים. בין חשובי קפלר ומדידות טיכו לגבי מסלולו של מאדים היה הבדל של שמונה דקות קשת. קפלר לא יכול היה להשלים עם הבדל זה וטען, “שתצפיתן נאמן כמו טיכו לא יכול היה לשגות כדי שמונה דקות”. הכרה זו אילצה את קפלר לוותר על התאוריות הראשונות שלו, אך גם סייעה לו בסופו של דבר לגלות את המסלול האליפטי של כוכבי הלכת. חשיבות הדיוק, אשר קנתה לה אחיזה במאה השש-עשרה, השפיעה במידה רבה על ההתפתחות המדעית. למן אותה עת ניכרת שאיפה מתמדת לשפור הדיוק במדידות. שאיפה אשר השפיעה על מדעי הטבע, ובעיקר על הפיסיקה, בכמה אופנים: היא עזרה לקבוע ולאשר תאוריות פיסיקליות, הראתה את הצורך בהבהרות נוספות, גילתה סדקים בלתי צפויים בתאוריות קיימות, ולעיתים הביאה לזניחתה של תאוריה מסוימת ולצמיחתה של תאוריה חדשה. אחת הדוגמאות להשפעת הדיוק במדידות על נטישת תאוריה מדעית קשורה לתאוריית הקאלוריק. תאוריה זו הניחה כי לחום צריך להיות משקל. היו אלו מדידותיו המדוייקות של רמפורד1 (Rumford) והתאוריות הכימיות של לבואזיה, שערערו את תאוריית הקאלוריק. המאה התשע-עשרה, לעומת זאת, אופיינה בכך ששיפור הדיוק והשאיפה לשיפור זה עמדו בסימן אישורם של חוקים קיימים, בעיקר חוקי ניוטון. דוגמא לכך הן מדידותיו של מכסוול (Maxwell), שבאו לאשר את חוק הגרביטציה של ניוטון. לפי חוק זה קטנה המשיכה הגרביטאציונית בין שני גופים לפי ריבוע המרחק ביניהם. מתוך התאוריה נמצא הערך 2 (הריבוע) בתחום השגיאה הנסיונית של 1.99995 עד 2.00005. מדידות שנעשו ב-1936 צמצמו את הגבולות ל-1.999999998 עד 2.000000002.
בסוף המאה התשע-עשרה ובמאה העשרים שוב הביא שיפור הדיוק למהפכה בתפיסה המדעית. אחת הדוגמאות הבולטות היא נסיונותיהם של מיכלסון (Michelson) ב-1881 ושל מיכלסון ומורלי ב-1887 למדוד את השינוי במהירות האור הנובע מהשפעת מהירות מקור האור באתר, אשר לפי הפיסיקה הקלאסית הנו התווך המהווה נושא להתקדמות גלי האור.
(שכן, כפי שניסח ניוטון, “הרעיון שגוף אחד ישפיע על גוף שני הרחוק ממנו דרך חלל ריק ובלא אמצעי אחר, הוא בעיני אבסורד גמור”). קיומו של האתר מצביע על כך שקיימת מהירות מוחלטת ולכן מהירות האור צריכה להיות מושפעת ממהירות נושא האור. נושא האור המהיר ביותר שעמד באותה עת לרשותם היה כדור הארץ, שריבוע מהירותו הנו רק חלק המאה מיליון מריבוע מהירות האור. השגת דיוק בסדר גודל זה בניסוייו של מיכלסון הביאו למסקנה שמהירות האור אינה מושפעת ממהירות מקור האור. לכן לא קיים אתר ואין משמעות למהירות מוחלטת. ניסוי זה היה לכן אחד הגורמים העיקריים לצמיחתה של תורת היחסות של אינשטיין ושל המהפכה בתפיסה המדעית בעקבותיה.
עקב החשיבות שממלא הדיוק בהכרת הטבע, צומחת ועולה אחת השאלות המעניינות במדע, אשר דומה אין לנו תשובה עליה אלא רק הנחות: האם קיים גבול לדיוק! או כפי שברידג’מן (Bridgman) ניסח זאת: “האם קיימים שערים לאזור חשוך בו שיפור במדידה הוא בלתי אפשרי?״
דומה ישנן שתי גישות לטפול בשאלה זו. גישות, או יותר נכון — הנחות, אלו מבוססות על גישה מטפיסית יותר מאשר על גישה פיסיקלית טהורה. הדעה הקלאסית הרווחת טוענת, שבעיקרון אין גבול לדיוק. ככל שמשתפרת הבנתנו הפיסיקלית והטכנולוגיה בה אנו פועלים כן משתפר הדיוק בכל ניסוי עיקרי במדע. בניסוי עיקרי אנו מבינים ניסוי הבא לאשר חוק פיסיקלי או לקבוע קבוע פיסיקלי. באופן עקרוני, תהליך זה של שיפור אין לו הגבלות. ההגבלות הקיימות נובעות מכך שהבנתנו הנוכחית והטכנולוגיה בה אנו פועלים אינן מושלמות, אולם הגבלות אלו הינן זמניות בלבד, ועם השתפרות הידע משתפר גם הדיוק. הווה אומר, לתהליך הזה אין גבול. השקפה זו מבוססת על האמונה שחוק פיסיקלי הוא נכון או לא נכון. אם החוק נחשב כנכון הריהו מדוייק. אם תוצאות נסיוניות סוטות מהתוצאה המתקבלת מהחוק הנכון, נובע הדבר מאי-שלמותם הטכנולוגית של מכשירי המדידה, או מחוסר האפשרות לנטרל אפקטים זרים לנסיון. גישה זו אינה מוציאה מכלל חשבון מצב שבו נסיון יוכיח שחוק פיסיקלי שנחשב כנכון הוא למעשה בלתי נכון.
לצד ההנחה אודות דיוק משתפר ללא גבול, קיימת ההנחה שיש גבול סופי לדיוק. הנחה זאת מצביעה לכאורה לעבר עקרון אי-הודאות של היזנברג, אך למעשה אין היא מסתמכת עליו. לפי עקרון זה, שהוצע ב-1927, אין אפשרות לקבוע בדיוק אבסולוטי ובאופן סימולטני ערכים של גדלים פיסיקליים המתארים התנהגות מערכת פיסיקלית כלשהי.21
גדלים אלו הם המקום והתנע, המקום הזויתי והתנע הזויתי, האנרגיה והזמן בו נמדדה. מכפלת אי-הודאות של כל אחד ממרכיבי הזוגות הללו חייבת להיות גדולה מקבוע פיסיקלי יסודי הנקרא קבוע פלנק (Planck). לכן תוצאות מדידת גודל אחד משפיעות על דיוק מדידת הגודל השני. אולם עקרון זה אינו מוציא מכלל אפשרות עקרונית שאחד הגדלים הללו ימדד בדיוק ללא גבול, אף כי במקרה כזה מאבדים כל מידע לגבי הגודל המשלים לו. מדידת מקומו של חלקיק בדיוק ללא גבול תגרום לאי-ודאות מוחלטת לגבי מהירותו (תנע). יוצא איפוא, שעיקרון אי-הודאות, למרות קביעתו כי לא ניתן למדוד בו-זמנית את כל הגדלים הפיסיקליים בדיוק רצוני, אינו מוציא מכלל אפשרות שניתן להשיג דיוק רצוני לגבי חלק מהגדלים. אולם, למרות שעיקרון “גבול הדיוק” אינו נובע מעיקרון אי-הודאות, הוא הושפע ממנו, ולו רק מעצם העובדה שאלמנט אי-הודאות נכנס לכתלי המדע. אולם שרשי העיקרון, (או יותר נכון ההנחה) של “גבול הדיוק” קדמו לקבלת עיקרון אי-הודאות במדע. בין אבותיה הראשונים של הנחת גבול הדיוק ניתן למצוא את פואנקרה ואת דוהם.
דוהם (Duhem) טען שחוק מדעי המבוסס על ניסויים פיסיקליים הוא סמלי, היות שהוא דן ביחסים בין “סמלים”, שהקשר בינם לבין המציאות אינו מיידי. הקשר בין “הסמל” בחוק הפיסיקלי לבין המציאות נקבע באמצעות ניסוי והסתמכות על מכשירי מדידה. לכן חוקים סמליים הם לעולם לא אמיתיים ולא שקריים, וכמו הניסויים שעליהם הם מבוססים, הם מקורבים ובלתי מדויקים. מידת הדיוק של חוק, המספיקה בהווה, תהיה בלתי מספקת בעתיד עם התקדמותן של שיטות הניסוי, לכן חוק פיסיקלי הוא תמיד זמני ויחסי. הוא זמני גם בכך שאינו קושר אמיתות אלא “סמלים” וקיימים תמיד מקרים שבהם “סמלים” לא יוכלו יותר לייצג את המציאות.
ההיבט המתמטי של הדיוק
ההיבט המתמטי-לוגי של הדיוק קשור באופן הדוק לאותם קשרי גומלין הקיימים בין המתמטיקה לפיסיקה. שרשיו של קשר זה מצויים כבר באסכולה הפיתגורנית היוונית. אסכולה זו דגלה בדעה, שרק מה שאפשרי במתמטיקה אפשרי במבנה הטבע, ולהיפך; השקפה אשר שזורה בצורה זו או אחרת בהתפתחות המדע. שיאה של השקפה פיתגורנית זו באה לביטוי באמונה שחוקי המתמטיקה הם למעשה הצצה ישירה למחשבות האלוהים, או כפי שהגדיר זאת קפלר: “הגאומטריה היא האלוהים.” לפי השקפתו של קפלר, המתמטיקה היא הדגם שלפיו ברא אלוהים את העולם. באותה מידה, המתמטיקה היא גם חלק מהאדם עצמו, באשר הוא נברא בצלם האלוהים. אגב, גם דקארט טען שהמושגים “אלוהים” ו״הסדר המתמטי בטבע” הם מושגים משלימים.
בתקופה המכניסטית שהחלה עם ניוטון, היתה השקפה זו פחות מקובלת במדע, אך היא לא הוזנחה לגמרי. היה זה המתמטיקאי קרוניקר (Kronecker) שטען ב-1886: “אלוהים יצר את המספרים השלמים, כל היתר הם יצירתו של האדם״. ההשקפה הפיתגורנית החלה לפרוח מחדש עם הופעתה של המכניקה הקוונטית במאה העשרים. היה זה הפיסיקאי זומרפלד (Sommerfeld) שטען: “הקוונטה מזכירה לנו את התפקיד שמלאה הדוקטרינה הפיתגורנית לגבי מספרים שלמים לא רק כמאפיינים, אלא כמהות האמיתית של התופעה הפיסיקלית”. ניתן אולי להבין גישה נאופיתגורנית זו לאור הקשרים המופלאים בין המתמטיקה לפיסיקה המודרנית, שייתכן לסכמם באמירתו של אינשטיין, ש״הפיסיקה מתארת את העולם הממשי בעוד שהמתמטיקה מתארת את העולם האפשרי”. להשקפה הפיתגורנית קמו חולקים במרוצת ההתפתחות המדעית. לפי ההשקפה האנטי פיתגורנית, המתמטיקה היא המפתח לסדר העובדות בטבע, אך אינה מקור העובדות; לשון אחרת, המתמטיקה צריכה לתת לנו את ההגדרות לתופעות בטבע ולא ליצור אותן. את תמציתה של ההשקפה האנטי פיתגורנית ניתן למצוא בדבריו של רולנד מ-1899: “חקירה מתמטית מקיימת תמיד את חוק שימור הידע; אנו לעולם לא נקבל ממנה יותר ממה ששמנו בה. הידע יכול לשנות את צורתו, הוא יכול להיות יותר בהיר או מנוסח יותר טוב, אך כמות הידע על הטבע, המתקבלת על ידי חקירה מתמטית, זהה לזו שממנה התחלנו”. ההשקפה הפיתגורנית שראתה במתמטיקה יצירה מושלמת וישות ממשית, ספגה מהלומה עם פרסום מאמרו של גאדל (Godel) ב-1931. גאדל הראה שהמתמטיקה אינה כה מושלמת כפי שהיינו אולי רוצים שתהיה, ושבכל מערכת אריתמטית קיימים מושגים שאינם ניתנים להגדרה באותה מערכת. יתרה מזאת, לו היתה הגדרתם בגדר האפשרי, היתה מביאה לידי סתירה. גאדל הוסיף והראה שקיימים אין סוף משפטים אריתמטיים נכונים שאינם ניתנים להוכחה מתוך קבוצת אכסיומות נתונה וקבוצה סגורה של חוקים עקביים. במלים אחרות, בכל אריתמטיקה ישנם משפטים הניתנים לנסוח אך לא ניתנים להכרעה.
תפישה משלימה לגישה האנטי פיתגורנית רואה במתמטיקה, בהקשר למדעי הטבע, שפה, שבאמצעותה מתארים תופעות טבע. בהיותה שפה מהווה המתמטיקה כלי שבעזרתו אנו יכולים22 להבין את תופעות הטבע. לשפה כשפה יש חלק חשוב ביצירת מושגים, בהבנתם ובהשפעתם על דרכי חשיבתנו, אך אין השפה יוצרת את הישות הממשית של המושגים בהם היא מטפלת. ישותם של המושגים מצוייה מעבר לשפה. מידת ההצלחה העצומה של השפה המתמטית בתיאור תופעות הטבע נעוצה אולי במורכבות העשירה של הטבע. אפשר זאת הסיבה, שאפילו היחסים המתמטיים המורכבים ביותר הם איזומורפיים (שווי-צורה) לחלקים מסויימים בתצפיותנו, ומאפשרים לנו לארגן אותם בצורה שיטתית. אם לסכם השקפה זו ניתן אולי לומר, שבעוד שהפיסיקה מנסה לתאר את העולם המצוי, מתארת המתמטיקה את העולם הרצוי. אם נקבל השקפה זו, נסיק שאין חקירה בעקרונות המתמטיקה יכולה להצביע על תשובות לשאלות אודות הפיסיקה, שאחת מהן היא שאלת גבול הדיוק. דיון על גבולות הדיוק חייב לצמוח מתוך חקירת העולם המציאותי ומתוך קבלתנו את המגבלות שיש למידת הבנתנו. לא חקר השפה יכול להורות לנו על מגבלות אפשרויותינו לתאר את הטבע, אלא יחסי הגומלין בין המציאות לשפה, בין המצוי לרצוי.
מושג המערכת
אם-כן, יש או אין גבול לדיוק! הטענה שאותה אנסה לבסס בהמשך, היא שגבול כזה קיים. האלמנט החשוב ביותר בטיעוננו מבוסס על מושג ה׳׳מערכת”, המהווה לדעתנו את היסוד הבסיסי של המבנה המדעי.
מושג המערכת צמח מתוך מגבלות המוח האנושי ומאי-יכולתו לטפל בעת ובעונה אחת בכוליות הטבע, המורכבת מאין ספור עצמים ותהליכים. מגבלה זאת מצריכה את פרוק המציאות לגורמים ובדוד מרכיביה, כדי לאפשר טיפול בכל מרכיב בנפרד. ההצדקה המעשית לתהליך הפירוק נובעת מכך, שבכל אירוע ישנם גורמים מרכזיים מעטים וכי השפעת מרכיבים מרוחקים על מרכיב כלשהו קטנה ככל שהמרחק גדל. הכנסת מושג המערכת אפשרה איפוא למדע “לפרק את הטבע לגורמיו״, לבודד את התופעות הפיסיקליות ולטפל בכל אחת מהן לחוד. ללא הכנסת מושג המערכת היה המדע צריך לטפל בבת אחת בכל התופעות הפיסיקליות. בדיעבד ניתן להראות כי בכל ניסוי מדעי קרדינלי שנעשה טמונה ההנחה, שלעתים אינה גלויה לעין, שמערכת כזאת אכן קיימת. כלומר, כל ניסוי שנעשה בכדי לאמת חוק טבע, תחום למעשה במערכת כלשהי.
עם זאת, קבלת ההנחה שקיים גבול לדיוק מעלה כמה סימני שאלה לגבי מושג המערכת ומטילה ספק באפשרות שמערכת, במובנה הטהור, יכולה להתקיים למעשה. ההנחה שקיים דיוק סופי טוענת שבלתי אפשרי להגדיר או לבודד כליל מערכת מהשפעת הסביבה, או לבנות מערכת אשר קשרי הגומלין בינה לסביבתה ידועים באופן מוחלט. מערכת מושלמת היתה יכולה להתקיים אם ניתן היה לבנותה במרחק רב (השואף להיות אינסופי) מכל שאר המערכות ביקום, בהנחה שכל השדות של כל הכוחות בטבע (הידועים והבלתי ידועים) דועכים עם המרחק. הטיעון שקיים גבול סופי לדיוק כולל למעשה, את אי האפשרות להשיג תנאים כאלה.
מאידך, הטענה שקשרי גומלין בין מערכת לסביבתה ידועים לגמרי (לגבי “מערכות” שאינן באינסוף), אקוויולנטית לטענה שכל תופעות הטבע ידועות ומובנות. טענה כזאת אינה יכולה להתקבל, מה גם שישנם קשיים באינטראקציה של מערכות עם סביבתן לגבי תופעות פיסיקליות ידועות. כדוגמא אפשר להביא את ההשפעה הגרביטאציונית על מערכת כלשהי על-ידי שאר כל המערכות הקיימות ביקום. מכך ניתן להסיק שכל אירוע בטבע מהווה גורם בכל אירוע אחר.
שיקולים מסוג זה הביאו לניסוח ההנחה, ש״אין אפשרות לבנות מכונה הנעה לנצח מהסוג השלישי”.2 מכונה הנעה לנצח מהסוג השלישי (Perpetual Motion Machine) היא מתקן ההופך, בצורה מושלמת, מחזורית ומתמדת, צורה אחת של אנרגיה לצורה אחרת של אנרגיה. קיים הבדל יסודי בין מכונה הנעה לנצח מהסוג השלישי לבין מכונות הנעות לנצח מהסוג הראשון והשני, והוא שהמכונה מהסוג השלישי אינה סותרת חוק פיסיקלי קייס. מכונות הנעות לנצח מהסוג הראשון הן מכונות העושות עבודה מתמדת ללא אספקת אנרגיה כלשהי למכונה. במשך הזמנים נעשו נסיונות נפל רבים לתכנן ולבנות מכונה מטפוס זה, אך רק במאה ה-19 נמצא23 הבסיס המדעי לאי-אפשרותה של מכונה כזו, באשר היא סותרת את חוק שימור האנרגיה. הידוע גם כחוק הראשון של התרמודינמיקה.
המכונה הנעה לנצח מהסוג השני אמורה לפעול רק כאשר מקור האנרגיה מסופק לה בצורת חום המתקבל על ידי קירור הסביבה. מכונה זו אינה סותרת את חוק שימור האנרגיה, אך היא סותרת את החוק השני של התרמודינמיקה, שלפיו לא ניתן לקרר גוף מתחת לטמפרטורת הסביבה ללא השקעת עבודה.
מכונה הנעה לנצח מהסוג השלישי היא למעשה מערכת, שבה מתקיים חוק שימור האנרגיה. במלים אחרות, במערכת כזאת חוק שימור האנרגיה ניתן לקביעה נסיונית בדרגת דיוק רצונית (אינסופית). הטענה שבלתי אפשרי לבנות מכונה הנעה לנצח מסוג שלישי מקבילה לטענה שניתן לקבוע את חוק שימור האנרגיה בדרגת דיוק מסויימת בלבד. החלת השקפה זו לגבי כלל המערכות מביאה למסקנה, שכל חוק פיסיקלי הוא חוק מקורב מכיוון שהוא ניתן לאימות ניסויי במידת דיוק מוגבלת.
בדיון שהוצג עד כה, נבעו אי-הדיוקים במערכת מקשר הגומלין בין המערכת וסביבתה, אולם קיימים גם אי-דיוקים פנימיים שמקורם בתוך המערכת. אי- דיוקים אלו נובעים מהעובדה שמערכות מאקרוסקופיות בנויות למעשה ממספר גדול של חלקיקים, וכיוון שלפי עקרון אי-הודאות אין אנו יכולים לדעת בו-זמנית את כל המידע אודותם, נוצרים אי-דיוקים פנימיים.
ההגבלות שהוצגו כאן מובאות כהגבלות עקרוניות בעלות בסיס אקסיומטי. כדאי לציין שהבסיס של מרבית חוקי הפיסיקה הנו אקסיומטי, ולכן לאישור החוקים אין צורך בהוכחה לוגית. תקפותן של הנחות אקסיומטיות פיסיקליות מתקבל מתוך תצפיות חוזרות ונשנות בטבע. אם נקבל את הדעה ואת ההגבלות העקרוניות שהוצגו בדיון זה, נסיק שתפקידה של הטכנולוגיה בקביעת הדיוק חשוב אך לא מכריע.
מהו גבול הדיוק?
אם מקבלים את ההנחה שקיים גבול לדיוק עולה השאלה הבלתי נמנעת — מהו גבול הדיוק? שאלה זו אפשר לנסח גם כך: מהי אותה דרגת דיוק שמעבר לה לא ניתן לשפר את דיוקו של ניסוי כלשהו? בשלב זה לא ניתן לענות על שאלה זו תשובה מניחה את הדעת. לכל היותר ניתן לקבוע הערכות גסות, המבוססות על הפרעות ידועות וקיימות במערכת כלשהי שלא ניתן למנוע אותן. עם זאת, בשום פנים ואופן, אין לראות את כל ההערכות הללו והנימוקים התומכים בהן כקבועים מדעיים החלטיים.
הראינו שמושג המערכת ואי-שלמותו מהוים למעשה את הבסיס להנחה שקיים גבול לדיוק. מימדיה של המערכת יהוו לכן את הבסיס להערכה הכמותית של גבול הדיוק. היות שהמערכת היא אמצעי לבידוד תופעות פיסיקליות, חייבים להיות לה מימדים סופיים. ההנחה על קיום המערכת מבוססת על כך, שניתן לבודד או לשלוט על תופעות של השפעת הסביבה על המערכת. יתרה מזאת, לפי אחד העקרונות הבסיסיים של התורה הקיברנטית — “ביצועי מערכת נקבעים על ידי המבנה שלה.” מימדי המערכת הניסויית מהווים אם- כן יסוד עיקרי במבנה המערכת וקובעים את הדיוק שניתן לצפות ממנה. מימדיה של מערכת כוללים למעשה את גודלה מבחינת מימדים, את מסתה ואת משך הזמן שהיא מתפקדת. מימדים אלו לא יכולים להיות גדולים מדי, כי לא24 ניתן לצפות לשליטה טובה על מערכת או להכרה טובה של קשרי הגומלין בין המערכת לסביבתה במערכות גדולות. מאידך, אין מימדי המערכת יכולים להיות קטנים מדי (בסדרי גודל אטומיים) היות שמערכת נסיונית חייבת לכלול את המכשור העוזר לחושינו להבין את התופעות הפיסיקליות הנחקרות. אותו מכשור מהווה את ערוצי הקשר בין המערכת לבינינו וחייב להכלל בתחום המערכת. אותם ערוצי הקשר אינם יכולים להיות קטנים מדי לגבי המימדים העצמיים שלנו.
מתוך טעונים אלו נובע כי מערכת אופטימלית שבה ניתן לצפות לדיוק הטוב ביותר, ושבה השליטה על המערכת היא הטובה ביותר, היא מערכת ששיעורי מימדיה דומים למימדי עצמנו. השקפה זו מוצאת את חיזוקה בניסיון הקיים. המדידות המדוייקות ביותר הקיימות לגבי גדלים פיסיקליים עקרוניים, כמו אורך ומסה, הם לגבי ערכים של ק״ג ומטר.
כפי שהזכרנו, לפי עקרון אי-הודאות — מכפלת אי-הודאויות של גדלים פיסיקליים משלימים, חייבת להיות גדולה מערך פיסיקלי מסוים (קבוע פלנק). אם נוסיף לעקרון זה את עקרון גבול הדיוק עבור מערכת כלשהי, כלומר שלא ניתן למדוד ערך פיסיקלי כלשהו בדיוק העולה על דיוק נתון, נוכל לקבל הערכה כמותית לגבי גבול הדיוק. חישובים שנעשו מורים, שעבור מערכת אופטימלית גבול הדיוק3 הוא בשיעור של 20-10 בקירוב.
קיימים רמזים נוספים המצביעים על שיעור גדלו של גבול הדיוק. לדוגמא, קוקוני וסלפיטר (Cocconi and Salpeteter) טענו, שהסטיות הקלות מההתפלגות הסימטרית של החומר ביקום צריכה להשפיע על חוקי המכניקה והגרביטציה, הנחשבים כחוקים “מדויקים”. מדידות שנעשו לגילוי אפקטים אלו על ידי יוג׳ (Hughes) ואחרים, מצביעות על כך שמימדיהם של אפקטים אלו נעים בתחום של 20-10. חישובים שנעשו לגבי השפעת קרינה קוסמית על מערכות אופטימליות מצביעים שקרינה זו יכולה לגרום לאי-ודאויות בלתי נמנעות בשיעור גודל זה.
קשה לקבל את ההשקפה שאת גבול הדיוק קובעת “מערכת אופטימלית”, ששיעורי מימדיה דומים למימדי עצמנו. הקושי נובע מכך שהשיקולים לבחירת מימדי “המערכת האופטימלית” אינם אוניברסלים, אלא נקבעו בהשפעת האדם והעובדה שהוא חי על פני כדור הארץ. לגבי יצורים אינטליגנטיים (באם ישנם) החיים על פני כוכבים אחרים, שמימדי גופם שונים משלנו, תהיה “מערכת אופטימלית” שונה וכך גם גבול הדיוק. קבלת ההשקפה של “מערכת אופטימלית”, וגבול דיוק הנגזר ממנה, מכניסה אם-כן אלמנט “אנושי” לפיסיקה.
כל החישובים והטענות שהועלו עד כה אינם יכולים לאשר באופן מוחלט את הטענה שישנו גבול לדיוק. מתעוררת לכן השאלה, אם הניסיון שהצטבר עד כה לגבי שיפור הדיוק של מדידות פיסיקליות יכול להצביע על התשובה אודות התקרבותנו לגבול הדיוק, או שמא אין למושג זה כל משמעות. לבדיקת שאלה זו נבחרה סדרת הניסויים ששימשה לקביעת מהירות האור. גודל פיסיקלי זה נבחר הן משום שהוא אחד הקבועים המרכזיים בפיסיקה, והן משום שדיוק מדידתו הוא מן הטובים ביותר מבין הקבועים הפיסיקליים. סיבה נוספת היא שישנה היסטוריה יחסית ארוכה של מדידות בשיטות שונות לקביעת ערך מהירות האור.
המדידות הכמותיות הראשונות למדידת מהירות האור נעשו על ידי פיזר (Pizeau) ב-1849 ופוקו (Foucault) ב-1850.
על פי מדידות אלו נקבעה מהירות האור 3150000 ו-298000 ק״מ לשניה בהתאמה. מהירות האור כיום היא 299792.450±0.0012 ק״מ לשניה, כאשר אי-הודאות הקיימת נובעת בעיקרה מאי-הדיוק הקיים לגבי הגדרת המטר והשניה.
אולם, למרות השיפור העצום שהושג בדיוק מדידת מהירות האור במשך 120 השנים האחרונות (שיפור ב-6—7 סדרי גודל) השגיאה היחסית כיום היא בסדר גודל של 9-10, כלומר המדידה הנוכחית מצוייה עדיין במרחק של 11 סדרי גודל מגבול הדיוק המוצע. לכן ניתן להסיק שהמידע הקיים כיום לגבי שיפור הדיוק עדיין אינו בשל בכדי להכריע בשאלה האם קיים גבול לדיוק, או שגבול כזה אינו קיים.
בסיכום, ניתן לומר כי הנימוקים התומכים בהמצאות גבול סופי לדיוק הם כלליים ומבוססים על הנחות שמקורן מטאפיסי, לכן אין לראותם כטיעונים מדעיים משכנעים ובהתאם לכך יש לשפטם.
על פי ההנחה שאומצה לגבי קיום עקרון “גבול הדיוק”, כל מדידה פיסיקלית נושאת בחובה אי-דיוקים, שלא ניתן לשפרם באופן עקרוני מתחת לסף מסוים הנקרא גבול הדיוק. סף הדיוק (השגיאה היחסית במדידה פיסיקלית) של גודל פיסיקלי כלשהו הוא בסדר גודל של 20-10.
גודל זה התקבל על ידי שילוב עיקרון אי-הודאות של היזנברג עם עיקרון גבול הדיוק לגבי מערכת אופטימלית. מספר ניסויים והשערות נוספים לגבי אפקטים בלתי נמנעים, הגורמים לאי-ודאות בניסויים פיסיקליים, תומכים (בדרגת דיוק של מספר סדרי גודל) בערך זה של גבול הדיוק.
גבול הדיוק המוצע בשיעור של אחד למאה מיליארד-מיליארד (20-10) רחוק ממידת הדיוק המכסימלית המושגת כיום במדידה של גדלים פיסיקליים שהיא אחד למיליארד (9-10). לכן, מבחינה מעשית לא חשוב כיום ערכו של גבול הדיוק ואם הוא בכלל קיים, חשיבותו של גבול הדיוק קיימת רק בהקשרו העקרוני למידת הבנתנו את המציאות הפיסיקלית. אם גבול הדיוק מהווה מחסום לשיפור הדיוק, קיימת משמעות למדידת גדלים פיסיקליים עד לערכו של גבול זה. יתרה מזאת, בהיות המדידה אבן בוחן למשמעותם של גדלים אלו, קיומו של גבול לדיוק ישפיע בהכרח על משמעותם וכן על יכולתו של האדם לתאר את המציאות.
הבעת תודה
ברצוני להביע את תודתי לרבים, ובמיוחד לעורך ״מחשבות״ על הבקורת הבונה. תודתי העמוקה נתונה לד״ר יובל לוריא מהמחלקה לפילוסופיה באוניברסיטת בן גוריון על תרומתו הנכבדה לגיבוש הרעיונות הכלולים במאמר זה.
המדידות נערכו ב-1799; בדרגת דיוק של אחד למליון לא נמצא שינוי במשקלו של גוף עקב חימומו. ↩
הנחה זו התפרסמה לראשונה במאמר: Some Remarks on the Question of Accuracy in Physics, by Yigal Ronen: II Nuovo Cimento 188 354 (1973). ↩
השגיאה במדידת פרמטר פיסיקלי כלשהו מחולקת בערך של הפרמטר עצמו, כלומר השגיאה היחסית. ↩
