הקדמה:
עת רבה לפני שקרקרו אבות-אבותיהן של תרנגולות פבלוב כבר הגיבו דורי-דורות של תלמידים ברפלכס מותנה של שתוק איברים לשמע המלה מתמטיקה. אפשר משום המורים (עיניים קרות מבעד למשקפיים ממוסגרות ברזל דק ופה קפוץ ודק) או אפשר משום הגיונו החד והמיוחד של מדע זה (אם רכבת יוצאת מא׳ לב׳ ו…). כך או כך דומה אין מדע אחר ״לבדו ישכון״ כמותו. הפיסיקה (פצצות אטום, אנרגיה גרעינית וכו׳), הביולוגיה (התא, התורשה, התפתחות המין וכו׳) ושאר המדעים, קשורים-כמו בחבל טבור דק עם הקהל הרחב, באמצעותו מתנהלת תנועת-מה של קומוניקציה. אבל במה עוסקת המתמטיקה המודרנית? איזו קומוניקציה יכולה להתקיים כאשר צד אחד משגר נוסחאות סתומות, המפרשות עצמן בעזרת נוסחאות סתומות אחרות?
ברך אותנו, הו מספר שמימי,
המחולל אלים ובני אנוש.
הו תתרקטיס קדוש
בך צפון השורש והמקור
ליצירה הנצחית.
שיר תהילה למספר 4
של חסידי פיתגורס.
פרופ’ יוסף גיליס משיב בטענה הניצחת (כמו המתמטיקאים מאז ומעולם), שהמתמטיקה היא שפה כמו כל שפה אחרת, אך היא כתובה בהגיון רב ומדוייק עד מאוד. את טעם הרפלכס המותנה תולה פרופ׳ גיליס לאו דווקא במורים, אלא בהורים, הדואגים להזהיר את ילדיהם מפני המתמטיקה עוד טרם דורכת כף רגלם בשער בית-הספר. פרופ׳ גיליס סבור, כי ״עד רמה של בחינת בגרות מסוגל כל בן-שכל לתפוש את המתמטיקה. אך גם מעל לרמה זאת אין צורך במח מיוחד, אלא ביחס מיוחד, דרישה שהיא נכונה לכל מקצוע״. הצהרה זאת אין שום סכוי שתתקבל על דעת הרוב המכריע של נבחני ה9בגרות, המדלגים בעור שיניהם מעל משוכת המתמטיקה, בעוד היו חותמים בשתי ידיים על אמירתו השנונה של הלורד ראסל, כי: ״המתמטיקה הוא מדע, בו אין יודעים על מה מדברים וגם אין יודעים אם מה שאומרים הוא נכון״.
פרופ׳ גיליס: אם יחתמו זה יהיה מחוסר הבנה למה שאמר. כוונתו של ראסל היא, שתפקיד המתמטיקה הוא לא לעסוק בדברים מוחשיים, אלא במה שנובע ממערכת אקסיומות. אנסה להסביר זאת: סכימה מתימטית יוצאת מתוך הנחות כלשהן, מתוך שקולים הנובעים ממערכת אקסיומות. המתמטיקאי מעלה שאלות בקשר לאכסיומות, לדוגמא: אם מתוך מערכת כזאת לא נובעות שתי מסקנות הסותרות זו את זו. אך אין שום משמעות לשאלה אם האקסיומות עצמן נכונות. אתן לך דוגמא: כדי שנוכל לקרוא לקבוצות של נקודות קוים ישרים, נקבע, למשל, שבין שני קוים ישרים ושונים לא יכולות להיות שתי נקודות משותפות, שאם לא כן הם אותו קו. השאלה המעסיקה את המתמטיקאי היא: מה אפשר להסיק מאקסיומה זאת — ללא כל קשר עם השאלה: מה הן נקודות אלה. לגבי דידו הן יכולות להיות בקבוקים כל עוד הם מקיימים את אותן האקסיומות.
פרופ׳ גיליס, המתמטיקה משתבחת בהגיון המדוייק העומד ביסודה. ההגיון, כפי שהוא נתפש במחשבה המערבית, הדואליסטית, פרושו שמשהו יכול להיות או א׳ או ב’. לעומת זאת מקבלת, למשל, הפיסיקה את האלקטרון, גם כחלקיק וגם כגל בעת ובעונה אחת. האם יש במתמטיקה דוגמה דומה למצב שאפשר להגדירו לא רק בתור א׳ או לא רק בתור ב׳?
נדמה לי שיש כאן אי-הבנה לגבי מה שאומרים הפיסיקאים. המושגים של גל וחלקיק מקורם בנסיון היום-יומי שלנו, אבל כשמדברים על חלקיק שגודלו אחד חלקי עשר בחזקת מינוס שלוש-עשרה של ס״מ, אין הכרח שהתפישה שלנו, היפה לחיים המקרוסקופיים, תתאים לעולם המיקרוסקופי. נילס בוהר אמר, שבתנאים מסויימים מתנהג האלקטרון כפי שמתנהגים חלקיקים בעולם המקרוסקופי, ואילו בתנאים אחרים התנהגותו מתאימה — לפי נסיוננו שלנו — להתנהגות גל. אך הבעיה היא שאי-אפשר לתאר את ההתנהגות — הברורה כשלעצמה — של האלקטרון באמצעות נסיון החושים שלנו. אולם, חוסר יכולת זה אינו דוחה את הקביעה שדבר מסויים חייב להיות או זה או זה. לדוגמה: מי שרואה לראשונה סוס מחזיתו הרי שסוס לגביו הוא חיה בעלת ראש גדול ורעמה, ואילו זה שהתבונן בו מאחור לגביו סוס הוא חיה בעלת זנב גדול ונטולת ראש. כך הדבר עם האלקטרון: לפעמים אנחנו מסתכלים בו מצד הראש ולפעמים מצד הזנב. התפישה שלנו לא בשלה דיה להשגת האלקטרון בשלמותו.
האם אין לראות בעקרון אי-הודאות של הייזנברג אישור למצב שהוא לא א׳ ולא ב’?
הייזנברג הבחין שאין לדבר על מספרים מדוייקים כשבאים לתאר איזה ארוע פיסיקלי. כוונת הבטוי של חוסר ודאות היא, שאין לדעת בדיוק מלא גם את מקומו של חלקיק מסויים וגם את מהירות תנועתו באותו רגע, כי עצם הנסיון שאני עורך לקביעת מקומו של החלקיק משפיע ומשנה את מהירות החלקיק. כלומר, כל כמה שאני מדייק יותר במדידת המקום אני עלול להכניס שגיאה גדולה יותר במדידה של המהירות.
דבר זה נכון לא רק לגבי מקום ומהירות, אלא גם לגבי זוגות של גדלים פיסיקליים אחרים, הקרויים צמודים: אנרגיה וזמן, למשל.
האם נכון הדבר שהמתמטיקה המודרנית הגיעה לדרגת סבוך כה גבוהה עד כי גם מתמטיקאים שמושיים אינם מוצאים בה את ידיהם ורגליהם?
במדה מסויימת זה נכון. אם לקחת עדות מעצמי, יש בפירוש מאמרים על בעיות מתמטיות שאינני מסוגל לקרוא בהם אפילו את הסעיף הראשון. עיקר הקושי בהעברת אינפורמציה מתימטית הוא, ששפת המתמטיקה מקצועית מאד. בביולוגיה, למשל, יכולים חברי להסביר לי תוך חמש דקות את הבעיות המרכזיות של הביולוגיה, בעוד המתמטיקה אינה ניתנת למסירה אגב שיחת חולין. כאן נדרשת הבנה יסודית של השפה ויותר מזה — הבנת הדרך כיצד להשתמש בה.
דרכי המחשבה שלנו לא התפתחו בחלל ריק
פרופ׳ גיליס, כיצד אתה מסביר פליאה שאיינשטיין נתן לה פעם ביטוי,10 כי המתמטיקה — אף שהיא מחשבת האדם ובלתי תלויה בנסיוננו — תואמת להפליא את חוקי הטבע. הכוונה, אם אני מבין אותה נכון, שאם 4=2+2 היא קביעה שרירותית ומוסכמת שלנו, כיצד קורה שהיא חופפת בשלמות את חוקי הטבע.
מענין, באוטוביוגרפיה שלו מציין פלאנק, שאחד הדברים שהפתיעו אותו בנעוריו ועוררו את התענינותו בפיסיקה היה, כאשר נוכח עד כמה תואמים תהליכי הטבע את ההגיון האנושי, כלומר: נקודת-מוצא הפוכה. בעצם אין זה מפתיע כל כך, ככלות-הכל דרכי המחשבה שלנו לא נוצרו בחלל-ריק, אלא התפתחו אגב הסתכלות בטבע, וע״כ אין פלא שההגיון שלנו תואם את הגיון הטבע. עם זאת עלינו להבהיר מה כוונת מושג ה״חוק״ בטבע. חוק הטבע עומד ומתקיים כל עוד הוא תואם את ההתרחשות אותה הוא בא לתאר, משעה שמתגלים בה דברים שאינם מוכלים בחוק — הרי צריך להחליף את החוק ולא את ההתרחשות. פרוש הדבר, שחוק הטבע אינו השאלה של חוק החברה או חוק תיאולוגי — לפיו משליט מישהו מלמעלה את החוקים ואוסר לעבור עליהם, אלא אם-כן עולה מרצונו לקרוע את ים סוף. לגבי הפיסיקה, אם קריעת ים סוף ארעה באמת, גם היא נכללת בחוקי הטבע.
האם מה שנכון לגבי הפיסיקה נכון לגבי המתמטיקה? כלומר, שהמתמטיקה היא אוסף נוסחאות המבטאות בדיעבד את הסדר והארגון שבטבע באמצעות מקדמים, קבועים ואקסיומות; מעין משחק בגימטריה ?
במתמטיקה המצב אחר. אני הוא שקובע את המשפטים, אף כי קיימות גם במתמטיקה תצפיות עליהן מבססים את המשפטים. אולי נגיד כך: האקסיומות המתמטיות מבוססות על אינטואיציה שפותחה על סמך הנסיון האישי של יום-יום. תפקיד ההיפותיזות והחוקים להכניס סדר וארגון בתצפיות המדעיות למען נוכל להמשיך בנסיונות. אבל היפותיזות וחוקים הם רק תחנות-ביניים, המאפשרות לנו לנוח מעט לפני שממשיכים הלאה. אסור שחוקים, או תחנות אלו, יהפכו משכן קבע.
בעולמות אחרים – מדידות אחרות וחוקים אחדים
האם לא כך קורה במציאות? כלומר, שהחוק קונה לו במשך הזמן תוקף אבסולוטי, עד כי מתרגלים לבחון את הארועים בטבע על-פי החוק שיצרנו וניסחנו במו ידינו, כאלו הם נובעים ממנו?
במדה מסויימת זה נכון. בפיסיקה, למשל, מצאנו שכל החלקיקים המאוחרים מקיימים את חוקי שימור האנרגיה, המסה וכו’, אשר נוסחו זמן רב לפני שנתגלו החלקיקים עצמם. אפשר לטעון למסקנה, כי לחוקים האלה יש משמעות יסודית, או ודאות מוחלטת, שאינה קשורה בתצפיות או בשרירות הניסוח של המשפטים. מצד שני אפשר לטעון טענה נגדית, שכל דרכי המחשבה שלנו ואופן תכנון הנסיונות על-ידינו, בנויים על-סמך השקפות הנובעות מתוך החוקים. כלומר, שאנו נוטים בתוקף מבנה השכל והמחשבה שלנו לגלות מערכת מסויימת של עובדות, המאשרת אותם חוקים שדרך המחשבה שלנו מייצרת. יתכן מאד, שאילו היינו עורכים תצפיות אחרות לא היינו מגיעים לאותן נוסחאות.
אין שום ערובה, שיצורים בעלי חשיבה שונה וחוקי הגיון אחרים — החיים בעולמות אחרים — לא ניסחו מערכת חוקי טבע שונה לחלוטין משלנו, כיוון שערכו תצפיות אחרות ומצאו דברים אחרים.
זה מזכיר לי ספור מעשה שמצאתי בספרו של אדינגטון, על אדם שיצא לדוג דגים עם רשת, הטיל אותה מספר פעמים לים ועל-סמך השלל שהעלה קבע, שאין דג בים שארכו פחות מ-5 ס״מ. פיסיקאי תיאורטי שעקב אחריו מרחוק אמר לו: ״למה כל הטרחה, לפי גודל החורים ברשת שלך הייתי יכול להגיד לך מראש שתגלה חוק כזה״. ובכן, אפשר שגם אנחנו עובדים עם סוג כזה של רשתות.
אינטואיציה מתמטית כנגד ההגיון הקר
פרופ׳ גיליס, האין מעמדה של המתמטיקה המודרנית בימינו קרובה לזו של ימי פיתגורס? כלומר — ענינה של כת נבחרת ומסוגרת. בהבדל אחד אולי, שכיום מתמטיקאי המסגיר אחד מסודות המדע הזה אינו צפוי למיתה — ממילא איש לא יבין אותו. מכל מקום, הרמה התיאורטית אליה הגיעה המתמטיקה היא כה גבוהה וייחודית עד כי נדמה שאנו עומדים לפני עולם שלם של משפטים וחוקים המשרתים בראש וראשונה את עצמם. אם נסב את דבריו של פרופ׳ בריג׳מן, שהתיחס למבנה המלולי שלנו, למתמטיקה — זה ישמע כך: ״האנושות הקימה מבנה מתמטי כדי להסביר את העולם הממשי, אבל המבנה המתמטי עצמו נהפך ליקום אוטונומי״.
כן, יש אמת-מה בדבר הזה ואני רואה אותה כתופעה לא רצויה. מתמטיקה בריאה, ואני לא נכנס כאן לסוגיה של מתמטיקה טהורה ומתמטיקה שמושית, צריכה להתבסס באיזה מובן, להשקפתי, על אינטואיציה — אינטואיציה מתמטית לפחות. הנכון הוא, שמצויים חוקרים, המנתקים עצמם בכוונה תחילה מכל זיקה לאינטואיציה ונוהגים בכל מכל עפ״י ההגיון הקר. פרוש הדבר, שהם מוסרים את עצמם בידי הנוסחאות, ונותנים להן להוביל אותם לנוסחאות אחרות. מחקר כזה איננו לטעמי. הייתי אומר אפילו שהוא נדון לעקרות, אבל מי יודע? דברים שעסקו בהם במאה ה-19 ונראו כמנותקים לחלוטין מן המציאות של אותו זמן, מהווים כיום את היום-יום של הפיסיקה.
האם מסוגלת המתמטיקה להגדיר בדיוק מהו יעד המחקר האקטואלי שלה, בדומה לפיסיקה, לביולוגיה, לכימיה, ולשאר המדעים?
לא הייתי מוכן להגיד שיש למתמטיקה יעד אקטואלי מידי, פרט למספר בעיות קלאסיות — שאף הן אינן מרכזיות. כלומר, אין הן מסוג הדברים שפתרונם פותח דרכים חדשות למחקר ולהבנת הבעיות. השוני בין המתמטיקה לשאר המדעים הוא בכך, שהללו חוקרים תופעות חיצוניות ועורכים תצפיות, ואילו המתמטיקה ממציאה ״בראש״ את התופעות ועל-כן אין היא יודעת מה היא מחפשת עד שאינה פותרת את הבעיה.
היית אומר שהמתמטיקה נותנת לאינדוקציה עיוורת להוביל אותה ?
הייתי אומר שהמתמטיקה מספקת מתוך עצמה את הסבות למחקר. מפעם לפעם מופיע איזה גאון הפורץ דרך חדשה למתמטיקה ויוצר מפנה ששם קץ לגשושים באפלה. אבל דבר זה נכון גם לגבי הפיסיקה, אשר עמדה במצב דומה לפני גילוי תורת היחסות. היו רבים שכמעט מצאו, אבל רק אחד ממש מצא. אם לא נולד גאון כזה ממתין המדע בסבלנות, אפילו 300 שנה.
האם העובדה שאין למתמטיקה שום גרוי חיצוני, אתגר מוגדר המסוגל למקד את מאמצי החוקרים, אינה מעקבת את קצב התפתחותה?
יתכן שכן, אבל הנה, גם בלי הגרוי החיצוני, אין המתמטיקה מפגרת אחרי התפתחותם של שאר המדעים. נראה שהגרוי הפנימי מספיק לה.
הניתן להעריך אם הפיסיקה נמצאת בשלב התפתחות גבוה יותר מהמתמטיקה ?
קשה מאד למצוא קנה-מדה להשוואה. נניח שבמקום לבחון את כברת הדרך שעשו שני המדעים עד היום נתבונן על מה שעומד לפניהם. במתמטיקה, למשל, אנחנו עומדים לפני בעיות שאין אנו יודעים כיצד להתקיף אותן מחוסר כלים מתימטיים בידינו. הקירובים שאנו מקבלים בעזרת המחשב האלקטרוני מספיקים אולי לפיסיקה, אבל לא למתמטיקה. יתכן בכלל שבעיות אלו אינן ניתנות מטבען לפתרון בשום טכניקה. מאידך בפיסיקה, היו שסברו לפני 20 שנה, כי הפיסיקה ״נגמרה״. כיום אנו יודעים על עשרות חלקיקים אלמנטרים חדשים ועדיין נמצאים רחוק מהסוף. בעצם, זהו טבעם של כל המדעים — בעיה אחת מולידה בעיה שניה.
סוד גורם היסוד
ב-1958 הודיע הייזנברג שהוא שוקד על פיתוח משוואה כוללת, שתתן בטוי מתמטי שלם לחוקים הטבעיים החולשים על מבנה החלקיקים האלמנטריים ועל החומר עצמו, מה עלה בגורלה של משוואה זאת?
כן, כן, משוואה כוללת שפתרונותיה יסבירו, או יתארו, את כל תופעות הפיסיקה. לא שמעתי על כך יותר, כנראה לא הצליחה במיוחד. לכשעצמי, אני מסופק מאד באפשרות קיומה של משוואה כזאת, שתהווה תשתית לכל הפיסיקה.
אם משוואה כזאת, המבטאה חוק-מקור ראשוני ממנו נובעים יתר החוקים, תימצא — האם יוכל המדע להגיד שהצליח להציב נוסחה מתימטית במקום בורא העולם?
זה כבר ענין של פירוש אישי, בסופו של דבר חוקרים המתמטיקאים והפיסיקאים את חוקי הטבע, שאתה רשאי לקרוא להם בשם ״דרכי הפעולה של בורא עולם״. נכון הוא שכל כמה שאני מצליח ליחס את מכלול התופעות למספר קטן והולך של חוקים יותר יסודיים, אני מתקרב יותר ויותר לפעולות היסודיות של בורא העולם.
על יסוד מה שידוע לנו כיום, פרופ׳ גיליס, באיזה מרחק מצויה המתמטיקה מתאור פעולת היסוד?
במרחק אין-סופי, אני משער. אבל גם אם ימצא חוק אחד שיסביר כל מה שאנחנו יודעים עד עכשיו, אין כל סבה שחוק זה יחזיק מעמד יותר מהחוקים המוגבלים שקדמו לו.••12
